¿Qué hacemos exactamente cuando ponemos $c=1$ ?

Question

Entiendo la idea de cambiar de sistemas de unidades, digamos de $\mathrm{m\ s^{-1}}$ a $\mathrm{km\ s^{-1}}$ pero, ¿por qué no podemos eliminar las unidades por completo?

Mi pregunta es: ¿qué hacemos exactamente cuando decimos que $c=1$ ?

Answer 1

Una razón conceptual para establecer $c = 1$ es hacer más evidentes ciertas simetrías. Por ejemplo, consideremos la relación relativista $E^2 = (|\vec{p}|c)^2 + (mc^2)^2$ con cantidades expresadas en unidades del SI, como se muestra. Si establecemos $c=1$ se convierte en $E^2 = |\vec{p}|^2 + m^2$ , lo que indica que la energía, el momento y la masa pueden ponerse en pie de igualdad. Una es sólo una expresión de las otras dos. Esta relación no es tan evidente cuando los factores de $c$ están esparcidos por ahí. Como otro ejemplo, consideremos la transformación de Lorentz. Estableciendo $c=1$ muestra la verdadera simetría entre el espacio y el tiempo.

Answer 2

No mucho, aunque en un marco de referencia dado, que la velocidad sea igual a cero es (normalmente) un punto fijo en la escala. Así que todavía tienes dos puntos, que es suficiente para definir esta escala.

Al mirar las transformaciones de Lorentz para algo como $SO(1,3)^{\uparrow}$ (el espacio en el que se desarrolla la relatividad especial), verás el término $\beta$ (definido como $v/c$ ) equivalen a la magnitud de $v$ ya que c se trata como un elemento de identidad. El dominio de $v$ se sitúa, por tanto, entre cero y $c$ que revela la razón principal por la que la gente puede establecer $c=1$ para representar a todos los $v$ -s como una fracción de $c$

Answer 3

A pesar del adoctrinamiento de los profesores de física del instituto, la física no tiene dimensiones. Por lo tanto, todas las unidades y constantes adimensionales pueden ser eliminadas. Ahora bien, esto parece imposible ya que entonces parece que se está tirando información de las ecuaciones que luego no se puede recuperar al usar sólo esas ecuaciones. Esto no es cierto, pero recuperar las ecuaciones originales sí requiere que uno estudie los límites de escala apropiados de la teoría en cuestión, en este caso la relatividad especial de una manera que no se suele hacer en los libros de texto.

El restablecimiento adecuado de c en las ecuaciones de la relatividad especial debe proceder como sigue. Hay que estudiar lo que ocurre en el límite de las velocidades cero cuando se impone la conservación de la energía y del momento. Por supuesto, se puede decir que entonces todo deja de moverse. Pero la cuestión más interesante es qué ocurre si hacemos una película de procesos que ocurren a velocidades cada vez más lentas y simultáneamente aceleramos la velocidad de reproducción de la película para que sigamos viendo el movimiento de los objetos implicados. Podemos entonces tomar el límite de escalar todas las velocidades a cero mientras la película seguirá pareciendo mostrar los objetos moviéndose más o menos a las mismas velocidades en la pantalla. La forma en que los objetos parecen moverse e interactuar entre sí en la pantalla será entonces descrita por las leyes clásicas de la física.

Las ecuaciones de energía y momento de una partícula libre son:

$$E = \gamma(v) E_{0}$$

$$\vec{P} = \gamma(v) E_{0} \vec{v}$$

donde

$$\gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1-v^{2}}}$$

Ponemos $\vec{v} = \vec{v'}/c$ y suponer que v' se mantiene finito mientras c se envía al infinito. Nótese que aquí c es sólo un parámetro de escala adimensional. Esto equivale a enviar la velocidad a cero mientras se amplía el mundo de la baja velocidad para que siga siendo visible. Para hacer visible la dependencia de la velocidad de la energía necesitamos expandirla a segundo orden en $\vec{v'}/c$ mientras que la dependencia de la velocidad del momento aparece en el orden cero. Sustituyendo las expresiones para la energía y el momento por estas expansiones, se obtiene

$$E = E_{0}\left(1 + \frac{v'^2}{2c^2}\right)$$

$$\vec{P} = E_{0} \frac{\vec{v'}}{c}$$

Consideremos ahora una colisión elástica para la que son aplicables las expresiones anteriores para la energía y el momento, es decir, v' es finito. Entonces, exigiendo que tengamos conservación del momento en cualquier marco arbitrario, se obtiene que tanto la suma de las energías en reposo como la suma de los momentos se conservan por separado. La conservación de la energía implica entonces que la suma de las energías cinéticas

$$T = E_{0}\frac{v'^2}{2c^2}$$

se conserva. Los dos términos de la ecuación de la energía escalan de forma diferente, por lo que tenemos que introducir una nueva variable para asegurarnos de que ambos términos siguen siendo visibles en el límite de c al infinito. Podemos, por ejemplo, hacer que la energía cinética sea finita poniendo

$$E_{0} = m c^2$$

donde se supone que m permanece finito en el límite de c al infinito. Entonces tenemos que reescalar el momento:

$$\vec{P'}= \frac{\vec{P}}{c}= m \vec{v'}$$

El momento total reescalado, la energía cinética y la "masa" m son entonces cantidades finitas que se conservan en el límite de c al infinito. Nótese que llegamos a este resultado independientemente de cómo hagamos finitas las cantidades. También podríamos haber conservado $E_{0}$ finito. Si entonces llamamos a esto la masa m:

$$E_{0} = m $$

entonces tenemos que reescalar el impulso según:

$$\vec{P'}= \vec{P} c = m \vec{v'}$$

y la energía cinética debe ser reescalada según:

$$T' = T c^2 = \frac{1}{2} m v'^2$$

Lo que ocurre entonces es que la energía restante $E_{0}$ no escala de la misma manera que la energía cinética. Podemos definir una energía de reposo reescalada $E_{0}'$ que sí escala de la misma manera que la energía cinética:

$$E_{0}' = E_{0} c^{2} = m c^{2}$$

Así, vemos que en el límite de escalamiento terminamos con tres cantidades conservadas independientes finitas: masa, energía cinética y momento y que si mantenemos formalmente el parámetro de reescalamiento c, la relación entre la energía en reposo expresada en las unidades de energía cinética finita y la masa es $E_{0} = m c^2$ .

Answer 4

Ya hay muchas respuestas, pero yo tengo un enfoque diferente para esto, y puede ayudar. Me gusta pensar en las unidades como variables, de modo que $c=3 \cdot 10^8 m/s$ es sólo una ecuación en las variables $c$ , $m$ y $s$ . Cuando se establece $c=1$ se fija una de las variables, y las otras dos deben satisfacer $3 \cdot 10^8 m = s$ . Así que siempre que tengas un $s$ en cualquier otra ecuación, se puede sustituir esto y entonces todo está en términos de $m$ , mientras que $c$ y $s$ se han ido. Quiero decir que se han ido de verdad, no están escondidos. Si sigues y estableces $\hbar =1$ también, se puede escribir todo en términos de $eV$ .