Muestran que

Question

Mostrar que $$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{\frac{1}{n}}}{(1+\frac{x}{n})^{n}}dx=1.$$

Comentario: debo aceptar que tengo un conflicto cuando me enfrento a una situación en la que me debe conocer la relación entre las Integrales de Riemann y la Integral de Lebesgue, el conflicto es más fuerte cuando las integrales son incorrectas. La mayoría de los libros de la dirección de esta relación para las integrales sobre intervalos de la forma $ [a, b] $, pero muy pocos la dirección de las integrales impropias. Me gustaría saber la prueba de que el problema que he propuesto y que alguien me recomienda libros donde se proponen ejercicios similar a la que se han propuesto aquí.

Answer 1

Mientras que la siguiente solución no se basa en el uso del Teorema de Convergencia Dominada (@Giovanni ya a condición de que el enfoque), pensé que podría ser instructivo para presentar un camino a seguir que se basa en un análisis elemental de la Beta y Gamma Funciones. Es con este fin que vamos a proceder.

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Deje $I(n)$ ser dada por

$$I(n)=\int_0^\infty \frac{x^{1/n}}{\left(1+\frac xn\right)^n}\,dx\tag 1$$

Hacer cumplir la sustitución de $x\to nx$ $(1)$ revela

$$\begin{align} I(n)&=n^{1+1/n}\int_0^\infty \frac{x^{1/n}}{(1+x)^n}\,dx\\\\ &=n^{1+1/n}B\left(1+\frac1n,n-1-\frac1n\right)\\\\ &=n^{1+1/n}\frac{\Gamma\left(1+\frac1n\right)\Gamma\left(n-1-\frac1n\right)}{\Gamma\left(n\right)} \end{align}$$

Tomando nota de que, como $n\to \infty$, $\Gamma\left(n-1-\frac1n\right)\sim \Gamma(n-1)=(n-2)!$, $\Gamma\left(1+\frac1n\right)\sim 1$, nos encontramos con que

$$\begin{align} n^{1+1/n}\frac{\Gamma\left(1+\frac1n\right)\Gamma\left(n-1-\frac1n\right)}{\Gamma\left(n\right)}&\sim \frac{n (n-2)!}{(n-1)!}\\\\ &\to 1\,\,\text{as}\,\,n\to \infty \end{align}$$

Answer 2

Observe que el límite puntual de los integrandos es$e^{-x}$. Además, observe que para$M \ge 1$ suficientemente grande$$f_n(x) = \frac{x^{\frac{1}{n}}}{(1 + \frac{x}{n})^n} \le \frac{1}{x^2}.$$ Then $ $ g (x) = \begin{cases}M & \text{if}\ x\in (0,M)\\ \frac{1}{x^2} & \text{if}\ x\in [M,\infty) \end {casos}$$ is integrable and satisfies $ | f_n | \ le g$ in $ (0, \ infty)$. By Lebesgue's Dominated Convergence Theorem, $$\lim_n\int_0^{\infty}f_n\,dx = \int_0^{\infty}\lim_nf_n\,dx = \int_0^{\infty}e^{-x}\,dx = 1.$ $

Cada libro sobre la teoría de la medida cubre este teorema y sus aplicaciones. Como buen punto de partida sugeriría Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones de Gerald B. Folland.