¿Mostrar que cada sendero puede estar bien dividido?

Question

Sea$\gamma: [0,1] \rightarrow S^1$ un camino. Vamos a decir que$\gamma$ está bien dividido si hay$a_1,...a_n$ tal que:

1. Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org
2. $a_1=0$
3. $a_n=1$
4. $\forall_{1\leq i < n}: a_i<a_{i+1}$

Me gustaría mostrar que cada camino no constante está bien dividido. No estoy muy seguro de dónde empezar aquí ... y por qué no es correcto en un camino constante? es sólo por la condición # 3? sin ella, sólo parece trivial, pero correcto.

Answer 1

(1) Dividir el segmento [0,1] en número finito de subsegments $I_1,...,I_m$ de manera tal que el diámetro de $\gamma(I_i)$ menos de 1.

Para encontrar finito de dividir uno puede simplemente cubre compacto [0,1] por abrir contador de imágenes de pequeños (diámetro < 1) abrir partes de $S^1$, luego de transformar esta cubierta de la cobertura de abrir los intervalos y, finalmente, tomar un número finito de subcovering que consiste en intervalos de $J_q$ para cada uno de ellos $\gamma(J_q) < 1$.

(2) Para cada subsegmento $I_i = [u_{i-1}, u_i]$ hacer lo siguiente.

Deje $M = \gamma(I_i)$ y $γ_0=γ(u_{i-1})$, $γ_1=γ(u_i)$ y $A \subset [0,1]$ es un conjunto finito que contiene todos los puntos seleccionados (de todos los segmentos $I_j$, j < i, mirar más allá).

Tome $k-2$ arbitrarias distintos puntos de $p_2,...,p_{k-1}$ $M \setminus (\{γ_0,γ_1\} \cup \gamma(A))$ tal que $\|p_i−p_j\|<1$. Para cada punto de $p_i$ tomar uno su contestación de la imagen y el fin de todas las k-2 contador de imágenes. Así que conseguir puntos $γ_0=a^i_1 < a^i_2 ... a^i_{k-1} < a^i_k=γ_1$ $\in$ $I_i$

Combinación de todos los puntos de las listas tenemos necesario establecer $a_1,...,a_n$:

$$ \{a_1,...,a_n\} = {\bigcup}_{i=1}^m \{a^i_1,...,a^i_{k_i}\} $$

Answer 2

Revisión de los seis puntos de $p_i$ $S^1$ cada una distancia $1$ aparte. Deje $U_i$ ser la unión de los puntos de $x\in\gamma^{-1}(p_i)$ en el componente conectado de $I$ $x$ la asignación a los puntos de distancia estrictamente menor que $1$$p_i$. Cada punto de $S^1$ está dentro de la distancia $1$ algunos $p_i$, por lo que el $U_i$ cubierta $I$. Cada una de las $U_i$ es una unión de intervalos abiertos, por lo que hemos abierto un cubrimiento de a $I$ con un número finito de subcover por intervalos de $I_k$. Cada uno de estos intervalos, fue la colección de todos los puntos de alrededor de algunos $x_k$ la asignación a en $1$$\gamma(x_k)$, por lo que el límite de puntos de la $I_k$ todo el mapa a un $p_j$ distinta de la de $\gamma(x_k)$, con la posible excepción de $0$$1$.

Elija todos estos puntos de límite para su $a_{2i+1}$. Cada una de las $\gamma(a_{2i-1})$ es exactamente $1$ o $0$$\gamma(a_{2i+1})$; si $1$, $a_{2i}$ entre dentro de $1$ de cada uno de ellos y con $\gamma a_{2i}\neq \gamma_{2i-1},\gamma_{2i+1}$. Si $\gamma(a_{2i-1})=p_j=\gamma(a_{2i+1})$ necesitamos comprobar $\gamma$ es no constante en el intervalo de intervalo: pero los puntos en $(a_{2i-1},a_{2i+1})$ son estrictamente dentro de $1$ algunos $x_k,$ que no puedo asignar a $p_j$ por la definición de la $a$s. Por lo $\gamma$ es no constante entre nuestros dos puntos, y podemos encontrar un"$a_{2i}$.

Tenga en cuenta que el razonamiento de que a $\gamma(a_i)\neq \gamma(x_k)$ se basa en al menos algunos de $a_i$ realmente lo que es todo el camino a $1$ $p_k$- de modo que si, por ejemplo, $\gamma$ fue constante en cada intervalo en nuestro sindicato se $I$ nos adentraríamos $a_0=0,a_1=1$ $\gamma$ la asignación de ambos en el mismo lugar. Para la condición 3 es necesario.