Anillo generado finitamente con cero Dimensión de Krull

Question

Estoy tratando de probar lo siguiente:

Cada anillo finitamente generado con una dimensión de Krull igual a cero es finito.

Estoy tratando de demostrar que el anillo es un dominio, por lo tanto, un campo, con el fin de utilizar la propiedad que afirma que cada campo finitamente generado es finito, pero no estoy viendo cómo puedo mostrar que este anillo es un dominio, así que supongo que esta manera puede, no puede ser la mejor manera de mostrar esto.

¡Gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

Para ver esto, observe que puesto que $R$ es un finitely generadas $\mathbb{Z}$-álgebra, que es necesariamente Noetherian. Por lo tanto, $R$, siendo Noetherian y de dimensión cero, es necesariamente Artinian. Por lo tanto, tenemos una descomposición de la $R$ $R\cong R_1\times\cdots\times R_n$ donde cada una de las $R_i$ es un local Artinian anillo, que es necesariamente también finitely generado como un $\mathbb{Z}$-álgebra.

Ahora, es suficiente para mostrar que cada una de las $(R_i,\mathfrak{m}_i)$ es finito. Es un hecho común que un local Artinian anillo con finito de residuos de campo es necesariamente finito en sí mismo. Pero, tenga en cuenta que $R_i/\mathfrak{m}_i$ es un campo que se finitely generado como un $\mathbb{Z}$-álgebra, y así necesariamente finita (de esta manera se sigue por la Nullstellansatz).