Norma de un $2\times 2$ como operador del espacio de Hilbert

Question

Trabajar en el espacio de Hilbert $\mathbb C^2$ . Sea

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} $$

sea una matriz con entradas en $\mathbb C$ y que $A$ actuar de la forma habitual en $\mathbb C^2$ . Esto da un operador lineal sobre $\mathbb C^2$ .

Defina $\alpha=[|a|^2+|b|^2+|c|^2+|d|^2]^{1/2}$ y $\delta = \sqrt{\det A^* A}$ . Me gustaría demostrar que

$$\|A\|=\frac{\alpha^2+\sqrt{\alpha^4-4\delta^2}}{2},$$

donde $\|A\|$ es la norma como operador de un espacio de Hilbert.

(Obsérvese el parecido con la fórmula cuadrática).

Este problema viene de la página 30 del libro de Conway Curso de análisis funcional 2ª edición. Es el problema 1.11 del capítulo 2.

Answer 1

Pista: $\|A\|^2$ es el mayor valor propio de $A^* A$ .

Answer 2

Utilizaré sin prueba algunos factores sobre operadores en espacios de Hilbert y sus adjuntos. Las pruebas se pueden encontrar en el libro al que se hace referencia en la pregunta.

En primer lugar, es cierto que $\|A\|^2=\|A^*A\|$ . Esto es útil porque $A^*A$ es autoadjunto, por lo que podemos utilizar una caracterización especial de la norma del operador que sólo se aplica a los operadores autoadjuntos. Tenemos $\langle Ah, h\rangle \subset \mathbb R$ para todos $h\in\mathbb C^2$ y

$$\|A^*A\|=\sup\{ |\langle Ah, h \rangle|: \|h\|=1\}.$$

Recordemos que $A^*A$ es autoadjunta, por lo que es diagonalizable, y tiene una base de vectores propios $v_1$ y $v_2$ . Entonces cualquier $h$ y una combinación lineal de múltiplos de $v_1$ y $v_2$ y utilizando la caracterización de la norma anterior y la linealidad del producto interior, el problema se reduce a encontrar el mayor valor propio de $A^*A$ como señaló Robert Israel.

A continuación, puede encontrar el valor propio de la forma habitual formando el polinomio característico, resolviéndolo mediante la ecuación cuadrática y tomando la raíz mayor. Esto explica por qué la fórmula dada en el enunciado del problema se parece a la fórmula cuadrática.

Este mismo método también permite derivar fórmulas para las normas de $3\times 3$ y $4\times 4$ pero no para las matrices $n\times n$ matrices con $n\ge 5$ (porque no existe una fórmula para la solución de un problema general de $n$ ecuación de grado con $n\ge 5$ ).