siempre polinómico irreducible?

Question

Existe polinomios irreducibles en $\mathbb{Z}[x]$ (por ejemplo,$x^4-10x^2+1$) que es reducible modulo cada prime $p$.(Una prueba se puede encontrar en J. S. Milne "Campos y Teoría de Galois", page13. Aquí está un enlace rápido de Notas de J. S. Milne ) Este tipo de polinomio es tan "malo". Quiero saber si existe alguna no-trivial de "buena" polinomios.

Estado, precisamente:

¿Existe un polinomio $f(x)\in \mathbb{Z}[x]$ con grado>1 tal que $f(x)$ es irreducible en a $\mathbb{F}_p[x]$ para cualquier número primo $p$?

Answer 1

No, no existe tal polinomio. Cualquier polinomio$f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ con grado mayor que$1$ es reducible modulo cada factor primo de cada valor que toma.

Para, tome cualquier valor de$n$ para el cual$f(n) \neq \pm 1$. (Debe existir tal$n$ porque$f$ puede tomar los valores$1$ y$-1$ sólo finitamente muchas veces.) Considere cualquier factor primo% #%. Entonces$p$, lo que significa que$f(n)$ es reducible en$f(n) \equiv 0 \mod p$: es divisible por el polinomio$f$.

Answer 2

La respuesta es 'no', excepto lineal de los polinomios. De hecho, si $f(x)\in\mathbb{Z}[x]$ es irreductible y de grado mayor que 1, entonces su división de campo es no trivial de la extensión de $\mathbb{Q}$, y en tal extensión, de un número infinito de números primos de división, lo que significa que $f$ modulo se divide un número infinito de números primos. Aún más la afirmación es verdadera: si $G$ es el grupo de Galois de $f$, entonces el conjunto de los números primos que dividen completamente, es decir, de los números primos (hasta un número finito de excepciones) modulo que $f$ se divide en factores lineales, tiene una densidad de $1/|G|$ por el Chebotarev densidad teorema.