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El grupo de$k$ - automorfismos de$k[x_1,\ldots,x_{n},x_1^{-1},\ldots,x_n^{-1}]$

Deje $k$ ser un campo (no me importa suponga que $k$ es de característica cero, si que va a facilitar las cosas).

Para $k[x_1,\ldots,x_n]$ es conocido que los afín y triangular automorfismos generar el grupo de automorfismos de a $k[x_1,\ldots,x_n]$, se $G_n$, véase, por ejemplo, van den Essen del libro. También se sabe que $G_2$ es gratis amalgamado grupo, véase, por ejemplo, Dick papel.

Mi pregunta: Es el grupo de $k$-automorfismos de a $k[x,x^{-1}]$, se $\hat{G_1}$, conocidos? de $k[x,y,x^{-1},y^{-1}]$? o, más en general, de $k[x_1,\ldots,x_n,x_1^{-1},\ldots,x_n^{-1}]$? ($\hat{G_n}$). Por 'conocido' me refiero a que si no es difícil encontrar un conjunto de generadores de forma similar a los generadores de $k[x_1,\ldots,x_n]$ (o tal vez, un libre amalgamado con la estructura de $\hat{G_2}$ similar a la libre amalgamado con la estructura de $G_2$).

Gracias por todas las sugerencias y comentarios.

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Adam Malter Puntos 96

Estos automorphism grupos son mucho más fáciles de entender que el automorphism grupos de polinomio anillos. Tome $A=k[x,x^{-1}]$. Si $\varphi:A\to A$ es un endomorfismo, a continuación, $\varphi(x)$ es una unidad de $A$. Por el grado consideraciones, es fácil ver que las únicas unidades de $A$ son monomials $ax^n$$a\in k^\times$$n\in\mathbb{Z}$. Para $\varphi$ a ser surjective, debemos tener $n=\pm 1$. Por el contrario, para cualquier $a\in k^\times$ y $n=\pm 1$, $x\mapsto ax^n$ da un automorphism. Explícitamente, a continuación, el grupo es un semidirect producto de $k^\times$ ($x\mapsto ax$) y $\mathbb{Z}/2$ ($x\mapsto x^{-1}$), con $\mathbb{Z}/2$ actuando en $k^\times$ por inversión.

Con más variables de la historia es similar, pero más complicado. Un endomorfismo de $k[x_1,\dots,x_n,x_1^{-1},\dots,x_n^{-1}]$ debe enviar a cada $x_i$ a una unidad, y la única unidades de $ax_1^{d_1}\dots x_n^{d_n}$ $a\in k^\times$, $d_1,\dots,d_n\in\mathbb{Z}$. Un endomorfismo es un automorphism iff los exponentes $(d_1,\dots,d_n)$ para cada una de las $x_i$ forman una base del grupo abelian $\mathbb{Z}^n$. De ello se desprende que la automorphism grupo es un semidirect producto de $(k^\times)^n$ (automorfismos de la forma $x_i\mapsto a_i x_i$) y $GL_n(\mathbb{Z}$) (automorfismos de la forma $x_i\mapsto x_1^{d_{i1}}\dots x_n^{d_{in}}$ donde $(d_{ij})\in GL_n(\mathbb{Z})$).

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