Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

11 votos

El doble del espacio de SobolevWk,p

El dual del espacio de Sobolev si se define como

ps

dónde $$(W^{k,p}(\Omega))' = W_0^{-k,p'}(\Omega)$.

¿Por qué esta definición tiene sentido, especialmente por qué tenemos1p+1p=1 - funciones en el lado derecho que desaparecen enLp?

13voto

zack Puntos 143

Voy a usar uno-dimensional Ω=(1,1), p=2, y k=1 por la simplicidad. La idea general es la misma.

Al k1, el operador de la derivada de ddx mapas de Wk,2 a Wk1,2. Esta es una propiedad natural que debemos esperar a que se mantenga para los índices negativos. En particular, W1,2 debe consistir, precisamente, de la distribución de los derivados de la L2 funciones.

¿Qué significa para la distribución de T a ser el derivado de la L2 función de g? Esto significa que Tφ=11gφ for all test functions φ\Cc(Ω). By Cauchy-Schwarz, |Tφ|. Therefore, the functional T extends to the completion of C^\infty_c(\Omega) in W^{1,2} norm. Which is precisely W^{1,2}_0(\Omega). We thus arrive at the identification of distributional derivatives of L^2 functions with the elements of W^{1,2}_0(\Omega)'.

Ahora que vemos que la fuga en el límite de vino de las funciones de prueba de tener esta propiedad, es natural preguntarse: ¿por qué insistimos en funciones de prueba de fuga en la frontera? La respuesta es que queremos definir distribuciones que viven en \Omega, no en algún otro lugar (en particular, no se en \partial \Omega). Lo que sea "de distribución en \Omega" significa que debe haber algo que podamos identificar por las pruebas en contra de las funciones de apoyo en \Omega.

Si tomamos el doble de W^{1,2}(\Omega) , la dejamos en algunas distribuciones que se desvanecen en \Omega, sin embargo, no son idénticamente cero. Por ejemplo, el funcional \varphi\to \varphi(1) pertenece a W^{1,2}(\Omega)' . Claramente, esto no debe ser un elemento de cualquier espacio en \Omega.

Observación. El surjectivity de diferenciación es útil cuando se considera la distribución de Poisson ecuación homogénea de los valores de límite: \Delta:W_0^{1,2}(\Omega)\to W^{-1,2}(\Omega) resulta ser un isomorfismo.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X