El doble del espacio de Sobolev$W^{k,p}$

Question

El dual del espacio de Sobolev si se define como

ps

dónde $$(W^{k,p}(\Omega))' = W_0^{-k,p'}(\Omega)$.

¿Por qué esta definición tiene sentido, especialmente por qué tenemos$\frac 1 p + \frac 1 {p'} = 1$ - funciones en el lado derecho que desaparecen en$L^{p'}$?

Answer 1

Voy a usar uno-dimensional $\Omega=(-1,1)$, $p=2$, y $k=1$ por la simplicidad. La idea general es la misma.

Al $k\ge 1$, el operador de la derivada de $\frac{d}{dx}$ mapas de $W^{k,2}$ a $W^{k-1,2}$. Esta es una propiedad natural que debemos esperar a que se mantenga para los índices negativos. En particular, $W^{-1,2}$ debe consistir, precisamente, de la distribución de los derivados de la $L^2$ funciones.

¿Qué significa para la distribución de $T$ a ser el derivado de la $L^2$ función de $g$? Esto significa que $$T\varphi=-\int_{-1}^1 g\varphi'\tag1$$ for all test functions $\varphi\C^\infty_c(\Omega)$. By Cauchy-Schwarz, $|T\varphi|\le \|g\|_{L^2} \|\varphi\|_{W^{1,2}}$. Therefore, the functional $T$ extends to the completion of $ C^\infty_c(\Omega)$ in $W^{1,2}$ norm. Which is precisely $W^{1,2}_0(\Omega)$. We thus arrive at the identification of distributional derivatives of $L^2$ functions with the elements of $W^{1,2}_0(\Omega)'$.

Ahora que vemos que la fuga en el límite de vino de las funciones de prueba de tener esta propiedad, es natural preguntarse: ¿por qué insistimos en funciones de prueba de fuga en la frontera? La respuesta es que queremos definir distribuciones que viven en $\Omega$, no en algún otro lugar (en particular, no se en $\partial \Omega$). Lo que sea "de distribución en $\Omega$" significa que debe haber algo que podamos identificar por las pruebas en contra de las funciones de apoyo en $\Omega$.

Si tomamos el doble de $W^{1,2}(\Omega) $, la dejamos en algunas distribuciones que se desvanecen en $\Omega$, sin embargo, no son idénticamente cero. Por ejemplo, el funcional $\varphi\to \varphi(1)$ pertenece a $W^{1,2}(\Omega)' $. Claramente, esto no debe ser un elemento de cualquier espacio en $\Omega$.

Observación. El surjectivity de diferenciación es útil cuando se considera la distribución de Poisson ecuación homogénea de los valores de límite: $\Delta:W_0^{1,2}(\Omega)\to W^{-1,2}(\Omega)$ resulta ser un isomorfismo.