Pregunta de probabilidad sobre billetes de "buenas".

Question

El problema:

De los 20 examen de entradas, 16 entradas son "buenas". Los boletos son cuidadosamente mezclados, y los estudiantes toman turnos para tirar de un billete. Que tiene la mejor oportunidad para dibujar una "buena" boleto de la primera o de la estudiante de segundo en la cola?

Mi intento:

Obviamente, la probabilidad de que el primer estudiante de conseguir un "buen" ticket es $16/20 = 4/5 = 0.8$

Ahora aquí es donde estoy confundido. He considerado dos casos. Si el primer estudiante tiene una "buena" vale, entonces las posibilidades de la estudiante de segundo se $15/19 = 0.789$, por lo menos que el primer estudiante.

Sin embargo, si el primer estudiante no tener un "buen" boleto, las posibilidades de que el segundo estudiante se $16/19 =0.842$, así que un poco mejor las posibilidades que el primero.

Así es la respuesta "depende de si el alumno obtiene una "buena" ticket"?

Answer 1

Usted está casi allí. Usted sólo tiene que solicitar la probabilidad condicional de reglas.

Esencialmente, la probabilidad incondicional de que el segundo estudiante obtiene un buen billete es igual a un promedio ponderado de las probabilidades condicionales $\frac{15}{19}$$\frac{16}{19}$, donde los pesos son las probabilidades de que el primer estudiante o no conseguir un buen billete, respectivamente. Si usted realiza ese cálculo, se obtiene

$$ \frac{4}{5} \times \frac{15}{19} + \frac{1}{5} \times \frac{16}{19} = \frac{76}{95} = \frac{4}{5} $$

Así que los dos estudiantes en igualdad de probabilidades de obtener un buen billete.

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El mismo resultado puede ser obtenido mediante la observación de que si usted pone las entradas a cabo "boca abajo", por así decirlo, la única cosa que distinguir la primera y segunda entradas es de la orden arbitrario que pusieron en. Desde las dos primeras entradas ya están destinados para la primera de dos estudiantes, ellos deben tener la misma probabilidad de ser bueno, es decir,$\frac45$. De hecho, la misma lógica se aplica a todos los estudiantes.

Answer 2

Si no observas boleto el primer estudiante, deben hacer un promedio ponderado de las dos posibilidades y usted descubrirá que la posibilidad del estudiante de segundo de conseguir un buen billete también es $0.8$. El hecho de que uno ya fue dibujado no importa en absoluto. ¿Cómo puede la oportunidad de ser diferentes si cada uno de ellos dibujó, luego intercambian billetes antes de mirarlas?

Answer 3

Deje $A_1$ $A_2$ denotar las variables aleatorias de Bernoulli de estudiante 1 y el estudiante 2 selección de una buena billete, respectivamente. Así, por ejemplo, la probababilty que el estudiante se elige un buen billete es $P(A_1 = G)$.

En primer lugar, permite calcular la probabilidad de $P(A_1 = G)$. Este es un caso simple de la distribución hipergeométrica, ya que la buena tarjetas de formar un "sub-población" dentro de la población "total" de las cartas:

$$ P(A_1 = G) = \frac{{16\, seleccione{1}}{4\, seleccione{0}}}{20\, seleccione{1}} = \frac{16}{20} = .8 $$

Y por lo tanto la probabilidad de que el primer estudiante elige una mala tarjeta es: $P(A_1 = B) = .2$.

Ahora para el estudiante de segundo: Uso de la ley de total probabilidad.

$$ P(A_2 = G) = P(A_2 = G | A_1 = G)P(A_1 = G) + P(A_2 = G | A_1 = B)P(A_1 = B) $$

La distribución condicional de $A_2$ $A_2$ es también hipergeométrica.

$$ = \frac{{15\, seleccione{1}}{4\, seleccione{0}}}{19\, seleccione{1}}*.8 + \frac{{16\, seleccione{1}}{3\, seleccione{0}}}{19\, seleccione{1}}*.2 $$ $$ = \frac{15}{19}*.8 + \frac{16}{19}*.2 = .8 $$

A-ha! la probabilidad es la misma. Vaya figuras.