Después de pensar un poco, esto sólo se sigue de un poco de teoría de Hodge, y en realidad el argumento de que voy a dar a partir de ahora es muy familiar para simpléctica los geómetras.
Primer aviso de que podemos asumir WLOG que $\omega_t$ desaparece cerca de la frontera (restando $\omega_0$$\omega_t$). Ahora, usted puede tomar el doble de su colector, y por supuesto, la familia $\omega_t$ se extiende hasta el doble. Por lo tanto podemos usar el argumento correspondiente aplicable a cerrado los colectores. El argumento es como sigue:
Primero elige cualquier métrica de Riemann en su cerrado colector, de manera que se obtenga una estructura de Hodge. Hemos asumido que la familia $\omega_t$ es exacta, lo que implica que se encuentra en el complemento ortogonal del núcleo de Hodge Laplaciano $\Delta$. Así se obtiene un suave familia de $d$formas de $\Delta^{-1}(\omega_t)$, y ahora se puede ver que $\delta\Delta^{-1}(\omega_t)$ es una forma deseada (donde $\delta$ es el codifferential):
Por definición, $\omega_t=\Delta(\Delta^{-1}(\omega_t))=d\delta\Delta^{-1}(\omega_t)+\delta d\Delta^{-1}(\omega_t)$ mantiene, lo que significa que es suficiente para mostrar que $\delta d\Delta^{-1}(\omega_t)$ siempre se desvanece. De hecho,
$\left<\delta d\Delta^{-1}(\omega_t),\delta d\Delta^{-1}(\omega_t)\right>=\left<\omega_t-d\delta \Delta^{-1}(\omega_t),\delta d\Delta^{-1}(\omega_t)\right>=\left<d\omega_t-d^2\delta \Delta^{-1}(\omega_t),d\Delta^{-1}(\omega_t)\right>=\left<0,\delta d\Delta^{-1}(\omega_t)\right>=0$.
Edit. En primer lugar, permítanme mencionar algunos bien hechos conocidos acerca de la Hodge Laplaciano $\Delta$. Usted puede encontrar pruebas en los libros de texto de introducción sobre la teoría de Hodge.
La Hodge de Laplace se define como $\Delta=d\delta+\delta d$, lo que permite una expresión local en términos de la norma base $\left\{e_1\wedge \cdots \wedge e_k\right\}$. Esto es un uno mismo-adjoint elíptica operador. Su núcleo es el espacio de la armónica de las formas, que es finito-dimensional, y $\Delta$ es invertible (en el sentido de continuus operadores) en el complemento ortogonal de $\mathrm{ker}\Delta$, el cual es llamado el teorema de Hodge.
Ahora $\Delta^{-1}\omega_t$ es suave como la $\Delta^{-1}$ es un operador lineal continuo. Por supuesto, el principio de que el OP se menciona en el comentario juega un papel bajo el agua, pero es un poco difícil de explicar, donde se utilizó. Si conoce la elíptica regularidad, entonces sería automática como $\Delta$ es de forma elíptica. Siguiente, $\Delta^{-1}$ es local como $\Delta$ es.
