Valor esperado del máximo de $2$ dados

Question

¿Cuál es el valor esperado del máximo de dos dados?

Me pregunto si hay una forma mejor de obtener la respuesta a esta pregunta que enumerar todos los resultados posibles y determinar el valor esperado a partir de ahí, ya que se trata de una pregunta de entrevista.

Gracias

Answer 1

Denota los resultados $(X_1,X_2)$ y $Z=\max\{X_1,X_2\}$ . Entonces solo usa que los resultados son independientes y rompe el evento " $Z=a$ " en " $(X_1=a \text{ and }X_2\leq a)\text{ or }(X_2=a\text{ and }X_1<a)$ ": $$E(Z)=\sum_{a=1}^6 a\cdot P(Z=a)=\sum_{a=1}^6 a\cdot (P(X_1=a \text{ and }X_2\leq a )+P(X_2=a \text{ and }X_1<a))$$ $$=\sum_{a=1}^6 a\cdot \left(\frac{1}{6}\cdot\frac{a}{6}+\frac{1}{6} \cdot \frac{a-1}{6}\right)=\frac{161}{36}$$

Answer 2

Supongamos que los dados tienen $n$ caras. Dejemos que $X=\max(a,b)$

Tenga en cuenta que:

$X=1$ sólo en el caso (1,1), es decir $p_X(1)=1/n^2$

$X=2$ en los casos (1,2), (2,2), (2,1), es decir $p_X(2)=3/n^2$

$\vdots$

$X=k$ en $k+k-1=2k-1$ casos, es decir $p_X(k)=(2k-1)/n^2$ (esto es fácil de ver cuando se dibujan todos los casos).

$$E(X)=\frac{1}{n^2} \sum_{x=1}^{n}x(2x-1)=\frac{1}{n^2} \sum_{x=1}^{n}(2x^2-1)=\\ \frac{1}{n^2}\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}-\frac{n(n+1)}{2}\right)=\frac{4n^3+3n^2-n}{6n^2} = \dfrac{4n^2 + 3n - 1}{6n}$$

Answer 3

Razonamiento en cuanto al tiempo permitido para responder a una entrevista:
a) en una plaza $6 \times 6$ el número de casos con un máximo inferior a $m$ será el cuadrado $m \times m$ .
b) así $m^2/36$ da el PDF.
c) la mediana estará en $PDF = 1/2$ es decir, para un cuadrado de superficie $=28$ es decir, alrededor de $5$ y la media algo por detrás.
d) para ser un poco más preciso, el pmf es $(m^2-(m-1)^2)=(2m-1)/36$ que es lineal y puede ser aproximado a un triángulo con base un poco menor que $7$ el centroide estará en $2/3$ de la base, así que a poco menos de $14/3 \approx 4.66$ .
e) totalmente preciso en su lugar será $$ \sum\limits_{1\, \le \,m\, \le \,6} {m\left( {2m - 1} \right)} /36 = 161/36 \approx 4.47 $$