¿Esta secuencia tiene un límite?

Question

Dígitos sumas de números de $3^m$ base $10$ $m=1,2,...,50$ son:

$3,9,9,9,9,18,18,18,27,27,27,18,27,45,36,27,27,45,36,45,27,45,54,54,63,63,81,72,72,63,81,63,72,99,81,81,90,90,81,90,99,90,108,90,99,108,126,117,108,144$.

Ratios $\dfrac {ds_{10}(3^m)}{ds_{10}(3^{m+1})}$ $m=1,2,...,49$ a tres decimales son:

$0.333,1.000,1.000,1.000,0.500,1.000,1.000,0.666,1.000,1.000,1.500,0.666,0.600,1.250,1.333,1.000,0.600,1.250,0.800,1.666,0.600,0.833,1.000,0.857,1.000,0.777,1.125,1.000,1.142,0.777,1.285,0.875,0.727,1.222,1.000,0.900,1.000,1.111,0.900,0.909,1.100,0.833,1.200,0.909,0.916,0.857,1.076,1.083,0.750$

¿Existe el límite de la secuencia de $a(m)=\dfrac {ds_{10}(3^m)}{ds_{10}(3^{m+1})}$?

No puedo resistir a la nota algún tipo de chebyshevness de esta pregunta (si es que la hay), porque sabemos que de Chebyshev demostrado que si el límite en el número primo teorema existe debe ser igual a $1$. Podría ser que este también es el caso aquí.

También doy la bienvenida a cualquier esfuerzo computacional y los resultados obtenidos a partir de un trabajo experimental si la prueba está fuera de su alcance.

Answer 1

Apenas para la diversión de ella.

I calcula $r_k$ $m=10^k$ y obtuvo los siguientes resultados $$ \left (\begin{array}{cc} k & r_k & \approx \\ 1 & 1 & 1.000000000 \\ 2 & \frac{17}{23} & 0.739130435 \\ 3 & \frac{119}{118} & 1.008474576 \\ 4 & \frac{2407}{2363} & 1.018620398 \\ 5 & \frac{23786}{23853} & 0.997191129 \\ 6 & \frac{238501}{238943} & 0.998150186 \\ 7 & \frac{1192772}{1192319} & 1.000379932 \\ 8 & \frac{23856784}{23858211} & 0.999940188 \end{matriz} \right)$$ My computer gave up for $k=9$.

Answer 2

Así que programó las diferentes parcelas de la base de 3 a 10 por 1000 puntos, y para casi todos ellos se puede ver que es básicamente converge a 1, pero en la base 9 tiene muy raro comportamiento. Esto puede ser debido a mi programación, pero parece sugerir que en la base 9 no convergen a 1.

Las parcelas se pueden ver aquí: https://imgur.com/a/QvNlA.

El código puede ser visto aquí: https://gist.github.com/anonymous/a4888cc09178dc8a967596e085dbd165

EDITAR:

Así que tengo una idea que parece hacer esta oscilación cuando la base es algo de poder de la número de secuencia. Así, por ejemplo, si consideramos la secuencia de $\frac{ds_{4}(2^m)}{ds_{4}(2^{m+1})}$ (aquí la base es $2^2$), podemos ver la oscilación, y para que la secuencia de $\frac{ds_{8}(2^m)}{ds_{8}(2^{m+1})}$ (aquí la base es $2^3$), podemos ver la oscilación de nuevo. A continuación están las secuencias respectivamente:

EDIT 2: Podemos, de hecho, muestran esta oscilación. Observe que podemos reescribir $3^m = a_0 + a_1 3^j + a_2 3^{2j} + \cdots + a_n 3^{nj}$. Entonces podemos reescribir nuestra $ds_{3^j}$ función a $ds_{3^j}(3^m) = \sum_{i=0}^n a_i$.

Pensemos en el caso de $3^2$ o de la base 9. Deje $\mu(x) = ds_{3^2}(x)$ por simplicidad de notación. A continuación, vamos a ir a través de algunos ejemplos. Tenemos entonces $3^1 = 3$ base 9, por lo $\mu(3) = 3$. A continuación,$3^2 = 1 * 3^2$, por lo que tenemos $\mu(9) = 1$. Aviso de $3^3 = 3 * 3^2$, y por lo $\mu(27) = 3$. Así que ahora tenemos que empezar a generalizar. Si $m$ es par, entonces tenemos que $\mu(3^m) = 1$, y si $m$ es impar, entonces tenemos $\mu(3^m) = 3$. Esto es bastante claro (aviso que si es par, entonces tenemos que, a continuación, tenemos $(3^2)^k$, por lo que tenemos $a_k = 1$$a_0, \ldots, a_{k-1} = 0$, y si es impar, entonces tenemos es de la forma$3 * (3^2)^k$, por lo que tenemos $a_k = 3$$a_0, \ldots, a_{k-1} = 0$) pero nos da este bonito oscilación entre lo $1/3$$3$, ya que si $\mu(3^m)$ es incluso entonces tenemos $\mu(3^{m+1})$ es impar y viceversa. Podemos, de hecho, muestran que esta se mantenga por cualquier poder, y que si tenemos $3^{n+1}$ como nuestra base, a continuación, nuestro número permanecerá en $1/3$ $n$ pasos antes de pasar a $3^n$. Esto es algo que podemos ver en el caso de la serie de $2^m$ en base 8; observe que en el segundo gráfico que he publicado se parece a quedarse en $1/2$ dos pasos antes de pasar a a $4$.

Por otra parte, se puede observar que si nuestra base es de la forma$3^j$$j >1$, entonces, en el hecho de que su secuencia no converge.

EDIT 3: Pedirle a un amigo, él dice que es imposible que esto converge a 1, en cualquier base, ya que siempre habrá saltos de hasta 0. No tengo una prueba formal de este, pero esto tiene sentido.