Hallar el área de una parte del círculo

Question

Un círculo está centrado en $(a,b)$ y tiene radio $d$ . El valor $k$ es tal que las líneas $y =k $ y $x=k$ ambas intersecan el círculo dos veces. Además, $a,b<k$ de modo que el punto $(k,k)$ está dentro del círculo, pero también por encima y a la derecha del punto $(a,b)$ . Esta configuración se ilustra a continuación.

Dada esta información, ¿cuál es el área de la región sombreada?

Intenté hacerlo geométricamente, pero no pude calcular los ángulos adecuados. Luego lo intenté mediante integrales, pero también se complicó muy rápidamente. Parece que debería haber una forma clara de ver cuál es esta área, pero no la encuentro.

Answer 1

Dispone de 6 áreas

$P_1=\frac{d^2\pi}{4}$

$P_2=\arcsin(\frac{k-a}d)\frac{d^2}{2}$

$P_3=\arcsin(\frac{k-b}d)\frac{d^2}{2}$

$P_4=\cos\arcsin(\frac{k-a}d)\frac{d(k-a)}{2}$

$P_5=\cos\arcsin(\frac{k-b}d)\frac{d(k-b)}{2}$

$P_6=(k-a)(k-b)$

Answer 2

Sólo un pista ¿estás seguro de que las integrales, por ejemplo, se te van de las manos?

Fíjese en el siguiente esquema: su zona está formada por cuatro regiones.

La cuarta parte de un círculo de radio $d$ marcado con una cruz azul, un rectángulo (cruz verde), y dos regiones (marcadas con cruces rojas) bajo una porción de arco circular, fácil y práctico de parametrizar

Answer 3

Sea $p=k-a$ y $q=k-b$ y dibujar líneas desde $(a,b)$ a las tres esquinas de la región sombreada. A continuación, la región se divide en dos triángulos y un sector.

El borde superior de la región tiene una longitud $\sqrt{d^2-q^2}+p=r$ ; la arista derecha tiene longitud $\sqrt{d^2-p^2}+q=s$ . El área de los dos triángulos es entonces $\frac12(ps+qr)$ . El ángulo subtendido en $(a,b)$ por los bordes derecho y superior es $\frac\pi2+\cos^{-1}\frac qd+\cos^{-1}\frac pd$ por lo que el ángulo del sector es $\frac{3\pi}2-\cos^{-1}\frac qd-\cos^{-1}\frac pd=\theta$ .

La superficie del sector es de $\frac{\theta d^2}2=(3\pi/2-\cos^{-1}q/d-\cos^{-1}p/d)d^2/2$ . Juntando todo, el área total es $$\frac{p(\sqrt{d^2-p^2}+q)+q(\sqrt{d^2-q^2}+p)+(3\pi/2-\cos^{-1}q/d-\cos^{-1}p/d)d^2}2$$