Cómo entender mejor a donde los círculos y las líneas de bajo de fracciones de transformaciones lineales?

Question

Hoy me encontré con la transformación de $f(z) = \frac{z}{z-1}$. Se tiene la siguiente propiedad:

• Como el punto de $z$ hace una contra-la revolución de las agujas del reloj alrededor del círculo unidad, comenzando a $1$, el punto de $f(z)$ parametrizes la línea con parte real $1/2$, viajando hacia arriba.

Esto no es una cosa difícil de verificar con un poco de trasteo. He utilizado este hecho para demostrar que un determinado operador había un vacío en su espectro. Pero, si yo no hubiera ya se espera que esto iba a suceder por otra razón, nunca habría notado por encima de la propiedad de esta transformación.

Otro ejemplo: el de Cayley transformar $f(z) = \frac{z -i}{z+i}$.

• Como $z$ viaja por el real de la línea de izquierda a derecha, $f(z)$ se somete a una izquierda revolución del círculo, comenzando y terminando en $1$.

De nuevo, esto es fácil de comprobar. Soy consciente del fenómeno, ya que la transformación es relativamente famoso, pero, si había encontrado en esta transformación "en la naturaleza", yo nunca hubiera esperado que la anterior propiedad. Lo que lleva a mi pregunta:

¿Hay alguna forma más sistemática a ver donde las líneas y los círculos de ir bajo fraccional lineal transformaciones $f(z) = \frac{az+b}{cz+d}$? Puedo verificar la espera de los hechos, haciendo las cosas como la computación en la norma, o partes real e imaginaria de la mano derecha, pero no puedo ayudar pero siento como que hay algún hueco en mi conocimiento que me impide realmente entender lo que está pasando.

Answer 1

Desde $$\frac{az+b}{cz+d} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c}\frac{1}{cz+d} \tag1$$ cada Möbius mapa es una composición lineal de mapas y $z\mapsto z^{-1}$. Lineal mapas son bastante simples: líneas claramente ir a las líneas y los círculos los círculos (con centro de círculo asignado al centro del círculo). Queda por averiguar el mapa de $z\mapsto z^{-1}$. Geométricamente, es más fácil trabajar con la inversión de mapa de $z\mapsto \bar z^{-1}$ y componer con la conjugación (en cualquier orden). La razón es que en coordenadas polares $z\mapsto \bar z^{-1}$ escrito $$re^{i\theta}\to r^{-1}e^{i\theta}\tag2$$ es decir, el ángulo polar permanece, pero la distancia al origen es invertida.

La inversión de un círculo centrado en $0$ es otro círculo centrado en $0$. La inversión de un círculo centrado en $a\ne 0$ puede ser calculado por el enfoque en la línea de $L$ a través de$0$$a$. Deje $p$ $q$ ser los puntos donde se $L$ cruza el círculo. Sus imágenes serán en la misma línea. Lo que es más importante, la imagen de los círculos siguen siendo simétrico con respecto al $L$, ya que (2) conserva tal simetría. Por lo tanto, $\bar p^{-1}$ $\bar q^{-1}$ son los extremos de un diámetro. Así, el círculo de imagen tiene el diámetro $|p^{-1}-q^{-1}|$ y el centro de la $\frac12(\bar p^{-1}+\bar q^{-1})$. Que es, ...

a menos que uno de $p$$q$$0$; decir $p=0$. Entonces tenemos una línea que pasa a través de $\bar q^{-1}$. Ya que es simétrico con respecto al $L$, debe ser perpendicular a $L$. Esto determina la línea.