Infinitamente muchas plazas de la de $1 + 2^{x^2} + 2^{y^2}$

Question

Demostrar que existen infinidad de plazas de la forma

$$1 + 2^{x^2} + 2^{y^2}$$

donde $x$ $y $ enteros positivos.

También, hay una forma general de las soluciones, de modo que uno puede generar soluciones a partir de ella ?

Gracias de antemano

Answer 1

Necesitamos $a$ tal que $a^2 = 2^{x^2}$$2a = 2^{y^2}$, así que podemos conseguir

$$ 1 + 2^{x^2} + 2^{y^2} = (a + 1)^2$$

Esto implicaría que $x = 2k$ fro algún número natural $k$, lo que nos daría $a = 2^{2k^2} = 2^{y^2−1}$, lo que nos da la siguiente ecuación de pell :)

$$y^2 - 2k^2 = 1 $$

que tiene una infinidad de soluciones de la forma $y_n +k_n \sqrt{2} = (3 + 2 \sqrt{2})^n $