Sobre un papel de Zermelo

Question

Esta sobre el famoso artículo

Zermelo, E., Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann, Matemáticas. Ann. 59 (4), 514-516 (1904),

disponible aquí. Edit: Springer link a la original (OCR ed, pueden estar detrás de un paywall)

Una traducción en inglés puede encontrarse en el libro de Obras completas/Gesammelte Werke por Ernst Zermelo. Alternativa fuente: el libro De Frege a Gödel: un libro fuente en la lógica matemática, 1879-1931, por Jean Van Heijenoort.

[Ver también este interesante texto por Dan Grayson.]

No entiendo el párrafo de la última página, cuya traducción en inglés es

En consecuencia, para cada cubriendo $\gamma$ no corresponde en definitiva un buen orden de la set $M$, incluso si el bien ordenamientos que corresponden a dos distintas coberturas no siempre a sí mismos distintos. No debe, en cualquier caso, existen al menos uno de esos pedidos, y cada set para que la totalidad de los subconjuntos, y así sucesivamente, es significativa, puede ser considerado como un bien ordenado y su cardinalidad como un "aleph". De ello se deduce que, por cada transfinito de cardinalidad, $$\mathfrak m=2\mathfrak m=\aleph_0\,\mathfrak m=\mathfrak m^2,\mbox{and so forth;}$$ y cualquiera de los dos conjuntos son "comparables"; es decir, uno de ellos siempre se puede asignarse uno-a-uno en el otro o una de sus partes.

A mí me parece Zermelo dice que el hecho de que cualquier conjunto puede ser bien ordenado inmediatamente implica que cualquier infinita cardenal es igual a su cuadrado. Es esta la interpretación correcta? Si es así, ¿cuál es el argumento?

Lado de la pregunta: ¿Qué es, en pocas palabras, la historia de la declaración de que cualquier infinita cardenal es igual a su cuadrado? Cuando se declaró por primera vez? Dónde fue demostrado por primera vez? (En una vena similar: ¿dónde estaba la comparabilidad de dos números cardinales demostrado por primera vez?)

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Edit: alemán original del pasaje en cuestión:

Somit entspricht jeder Belegung $\gamma$ eine ganz bestimmte Wohlordnung der Menge $M$, auch wenn nicht zwei verschiedenen Belegungen immer diversas. Jedenfalls muß es mindestens eine solche Wohlordnung geben, und jede Menge, für welche morir Gesamtheit der Teilmengen usw. einen Sinn sombrero, darf als eine wohlgeordnete, ihre Mächtigkeit als ein "Alef" betrachtet werden. Así folgt también für jede transfinito Mächtigkeit $$\mathfrak m=2\mathfrak m=\aleph_0\,\mathfrak m=\mathfrak m^2\text{ usw.,}$$ und je zwei Mengen sind miteinander "vergleichbar", d. h. es ist immer die eine, ein-eindeutig abbildbar auf die andere oder einen ihrer Teile.

Answer 1

El siguiente es un teorema de $ZF$:

El axioma de elección tiene si y sólo si para cada conjunto infinito $A$, existe un bijection de $A$$A\times A$. (es decir,$|A|=|A|^2$)

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Permítanos visión general del teorema de Zermelo, es decir, si el axioma de elección sostiene, a continuación, $\kappa=\kappa^2$ por cada infinitas $\kappa$.

Esto es bastante simple, por el canónica bien el pedido de pares.

Considere la posibilidad de $\alpha\times\beta$, esto puede ser bien ordenado, como ordinal multiplicación (que es $\beta$ copias de $\alpha$, es decir, lexicográfico en el pedido), o se puede ordenar de la siguiente manera:

$$(x,y)<(w,z)\iff\begin{cases} \max\{x,y\}<\max\{w,z\}\\ \max\{x,y\}=\max\{w,z\}\land x<w\\ \max\{x,y\}=\max\{w,z\}\land x=w\land y<z\end{cases}$$

Este es un buen orden (se puede ver por qué?). Ahora vamos a probar que $\kappa\times\kappa$ tiene el mismo tipo de orden como $\kappa$, esto es una prueba de que los dos conjuntos tienen la misma cardinalidad, ya que la orden similar tipos de inducir un bijection.

En primer lugar, es obvio que $\kappa$ es en la mayoría de los tipos de orden de $\kappa\times\kappa$ desde el tipo de orden de $\kappa$ puede ser simplemente ser escrito como $\alpha\mapsto (\alpha,\alpha)$. La otra dirección que demostrar por inducción sobre $\alpha$ que el de su primera ordinal $\omega_\alpha$ es cierto: $\omega_\alpha=\omega_\alpha\times\omega_\alpha$.

Hecho: Si $\delta<\omega_\alpha$ (donde $\omega_\alpha$ $\alpha$- th inicial ordinal), a continuación,$|\delta|<\aleph_\alpha$.

La afirmación es verdadera para$\omega_0=\omega$, ya que para cualquier $k$ el conjunto $\{(n,m)\mid (n,m)<(k,k)\}$ es finito. Por lo tanto, el tipo de orden de $\omega\times\omega$ es el supremum de $\{k_n\mid n\in\omega\}$ $k_n$ son finitos. Puesto simplemente, el tipo de orden es $\omega$.

Supongamos ahora (por contradicción) $\alpha$ fue el menos ordinal tal que $\omega_\alpha$ fue un contraejemplo a esta afirmación, es decir, $\omega_\alpha$ es estrictamente menor que el tipo de orden de $\omega_\alpha\times\omega_\alpha$.

Deje $(\gamma,\beta)<\omega_\alpha\times\omega_\alpha$ ser el par de números ordinales tales que el tipo de orden de $\{(\xi,\zeta)\mid (\xi,\zeta)<(\gamma,\beta)\}$$\omega_\alpha$.

Tome $\delta$ tal que $\omega_\alpha>\delta>\max\{\gamma,\beta\}$ $(\gamma,\beta)<(\delta,\delta)$ y, en particular, $\{(\xi,\zeta)\mid (\xi,\zeta)<(\delta,\delta)\}$ tiene cardinalidad de, al menos,$\omega_\alpha$, como se extiende un orden bien del tipo $\omega_\alpha$.

Sin embargo, $\delta<\omega_\alpha$ por el hecho de arriba es de menor cardinalidad, y por lo tanto que tiene la cardinalidad $|\delta|\times |\delta|=|\delta|<\omega_\alpha$ por nuestra hipótesis de inducción. Por lo tanto, una contradicción.

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La otra dirección, también conocido como del teorema de Tarski (me las arreglé para encontrar que fue publicada en 1923, pero no he podido encontrar una referencia adecuada.) es como sigue:

Supongamos que para todo infinito $A$, existe un bijection de $A$$A\times A$, entonces el axioma de elección se mantiene.

La prueba (que no voy a traer aquí, ya que sería necesario un poco más notaciones y definiciones - yo hice aquí) utiliza el concepto de Hartogs número (al menos ordinal que no puede ser inyectado en $A$). La prueba en su esencia es:

Si $\aleph(A)$ es el Hartog de $A$, $$A+\aleph(A)=(A+\aleph(A))^2=A^2+2\cdot A\cdot\aleph(A)+\aleph(A)^2\ge A\cdot\aleph(A)\ge A+\aleph(A)$$

A continuación, el uso (o probar) un teorema que si $A+\aleph(A)=A\cdot\aleph(A)$ $A$ puede ser bien ordenado.

Históricamente, Tarski llegó a publicar este teorema. Fue rechazado en primera. Polaco-matemático Estadounidense Jan Mycielsi refiere en su artículo Un Sistema de Axiomas de la Teoría de conjuntos para los Racionalistas Avisos AMS, de febrero de 2006, pág.209:

Tarski me contó la siguiente historia. Él trató de publicar su teorema (mencionados anteriormente) en los Comptes Rendus Acad. Sci. París , pero Fréchet y Lebesgue se negó a hacerlo. Fréchet escribió que una implicación entre dos conocidos proposiciones no es un nuevo resultado. Lebesgue escribió que una implicación entre dos falsas las proposiciones es de ningún interés. Y Tarski, dijo que después de este contratiempo, nunca trató de publicar en los Comptes Rendus.

Encontrar a través del artículo de Wikipedia sobre el axioma de elección.