Suma de logaritmos recíprocos de diferentes bases

Question

Hace poco hice un examen de matemáticas que tenía el siguiente problema: $$ \frac{1}{\log_{2}50!} + \frac{1}{\log_{3}50!} + \frac{1}{\log_{4}50!} + \dots + \frac{1}{\log_{50}50!} $$ La suma es igual a 1. Entiendo que los troncos se pueden descomponer en (primera fracción indicada) $$ \frac{1}{\log_{2}1 + \log_{2}2 + \log_{2}3 + \dots + \log_{2}50} $$

¿Cómo se convierten las fracciones con valores tan irracionales $1$ ? ¿Existe una fórmula o simplemente hay que combinar fracciones y utilizar las propiedades básicas de los logaritmos?

Answer 1

$$ \frac{1}{\log_{2}50!} + \frac{1}{\log_{3}50!} + \frac{1}{\log_{4}50!} + \dots + \frac{1}{\log_{50}50!} $$ $$=\log_{50!}2+\log_{50!}3+\log_{50!}4+...+\log_{50!}50$$ $$=\log_{50!}(2\cdot3\cdot4\cdot...50)$$ $$=\log_{50!}(50!)$$ $$=1$$

Answer 2

SUGERENCIA: utilice ese $\log_2 50!=\frac{\ln(50!)}{\ln(2)}$ así obtenemos $$\frac{\ln(2)+\ln(3)+...+\ln(49)+\ln(50)}{\ln(50!)}=\frac{\ln(50!)}{\ln(50!)}=1$$

Answer 3

$$\sum_{k=2}^{50}\frac{1}{\log_k(50!)}=\sum_{k=2}^{50}\frac{1}{\frac{\log(50!)}{\log k}}=\sum_{k=2}^{50}\frac{\log k}{\log(50!)}=\frac{1}{\log(50!)}\sum_{k=2}^{50}\log k=\frac{\log(50!)}{\log(50!)}.$$

Answer 4

Este es un resultado general. Podemos escribir para cualquier $N$

$$\begin{align} \sum_{n=2}^N\frac{1}{\sum_{m=2}^N \log_n(m)}&=\sum_{n=2}^N\frac{1}{\sum_{m=2}^N \frac{\log_b (m)}{\log_b(n)}}\\\\ &=\frac{\sum_{n=2}^N\log_b(n)}{\sum_{m=2}^N\log_b(m)}\\\\ &=1 \end{align}$$

donde utilizamos $\log_n(m)=\frac{\log_b(n)}{\log_b(m)}$ . ¡Y ya está!