Encontrar el rango de valores de $2^x+2^y$

Question

Supongamos que $x,y \in \Bbb{R}$ satisfacer $$4^x+4^y = 2^{x+1} + 2^{y+1}$$ Encuentra el rango de valores de $$2^x+2^y$$

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Lo sé. $x=y=1$ es una solución de $4^x+4^y = 2^{x+1} + 2^{y+1}$ pero no puedo ir más lejos. Sólo puedo encontrar una solución par de $4^x+4^y = 2^{x+1} + 2^{y+1}$ . Parece muy lejos de resolver esta cuestión...

Answer 1

Sea $a = 2^x, b = 2^y$ . Utiliza alguna manipulación algebraica para llegar a $(a - 1)^2 + (b - 1)^2 = 2$

Se trata de un círculo de radio $\sqrt{2}$ centrado en $(1, 1)$ y queremos encontrar los valores mínimo y máximo de $a + b$ .

Así que $a + b = M \rightarrow b = -a + M$ que es la ecuación de una recta con pendiente $-1$ . El máximo y el mínimo serán cuando encontremos la intersección y máxima y mínima de esta recta tal que intersecte al menos un punto de la circunferencia con $a, b > 0$

Es tangente al círculo de arriba a la derecha cuando $a = b = 2$ que da un valor de $M = 4$ . La intersección y más pequeña se produce en $m = 2$ Sin embargo, no incluimos $2$ porque hace cero una de las coordenadas. Esto establece $(2, 4]$ como el alcance.

Answer 2

Entonces, la otra solución:

deje $f(x) = 2^x$ . Entonces podemos pasar a esa forma de ecuación:

$$(f(x)-1)^2 + (f(y)-1)^2 = 2$$

Tenemos un círculo. Si consideramos los puntos de intersección de este círculo con una línea $$f(x)+f(y) = const$$ podemos obtener una respuesta.

También debemos ser educados con las restricciones $f(x),f(y) > 0$ .

Si hacemos un dibujo, concluiremos que el rango es (2, 4].

Answer 3

La desigualdad de Cauchy-Schwarz nos permite concluir $$((a-1)^{2}+(b-1)^{2})(1+1) \geq (a-1+b-1)^{2}$$ y por lo tanto $4\geq (a+b-2)^{2}$ y finalmente $a+b \leq 4$ con igualdad sólo cuando $a=b=2$ .

Answer 4

Establecer $a=2^x$ , $b=2^y$ entonces el problema es equivalente a encontrar el rango de $a+b$ donde $a,b>0$ y $$a^2+b^2=2a+2b$$ Sin pérdida de generalidad $a\ge b$ y podemos hacer la sustitución $c=a+b$ , $d=a-b$ así que ahora $c>d\ge0$ y necesitamos \begin{align*}\left(\frac{c+d}2\right)^2+\left(\frac{c-d}2\right)^2&=(c+d)+(c-d)\\ c^2+2cd+d^2+c^2-2cd+d^2&=8c\\ c^2+d^2&=4c\end{align*} Observe que $$c^2\le c^2+d^2=4c\Longleftrightarrow c(c-4)\le0\Longleftrightarrow c\le4$$ y $$2c^2>c^2+d^2=4c\Longleftrightarrow c(c-2)>0\Longleftrightarrow c>2$$ Es fácil ver que todos esos valores pueden alcanzarse y la respuesta es el intervalo $(2,4]$ .

Answer 5

Denotemos $2^{x}=a,2^{y}=b,$ donde $a,b\in %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion ^{+}$ . Entonces tenemos $a^{2}+b^{2}=2(a+b)$ que equivale a $% (a-1)^{2}+(b-1)^{2}=2.$ Así que tomamos la parte del círculo con centro $M(1,1) $ y radio $r=\sqrt{2}$ en el primer distrito del plano como dominio del función $f(a,b)=a+b$ . Buscamos valores máximos y mínimos de $f$ en el dominio dado. Cualquier punto $(a,b)$ en el dominio es $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ unidades alejadas de $(0,0)$ que también está en el círculo dado (aunque no en dominio). También sabemos que dos puntos de una circunferencia están como máximo a una distancia de diámetro de longitud. Así que $\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2\sqrt{2}$ como mucho. Así $% a^{2}+b^{2}=8.$ Entonces tenemos $2(a+b)=8$ y finalmente $a+b=4$ al máximo. Nosotros miramos en los bordes (porque están más cerca de (0,0) ) del dominio para valor mínimo, que está en $(2,0)$ o $(0,2)$ . Entonces $a+b$ converge a $2$ en mínimo. Tenemos el rango de valores $(2,4]$ .