Muestran un dominio integral $R$ y un elemento no nulo de no unidad de $R$ que no es un producto de realizar.
Mis pensamientos hasta ahora: realmente no tienen ni idea. ¿Cualquier persona podría dirigirme sobre cómo pensar acerca de esto? Estoy luchando para conseguir mi cabeza alrededor realizar.
Gracias.
Un ejemplo estándar de un dominio no noetheriano es el anillo $R=\{f(x) \in \mathbb{Q}[x]: f(0) \in \mathbb{Z} \}$; es decir, el anillo de polinomios racionales con término constante entero. Las unidades de $R$ son simplemente $\pm 1$. El polinomio $x$ es reducible, ya que factores como el $2 \cdot \frac{1}{2}x$, pero no es un producto de realizar, puesto que uno de los factores tendrían que ser $qx$ $q$ $2 \cdot \frac{q}{2}x$ racional y otra vez estos factores.
La siguiente es una respuesta simple, en realidad dos respuestas correspondientes. Van a mirar más complicado que el ya publicado respuestas. Pero puede ser interesante ver cómo las ideas de Modelo de la Teoría puede ser ejercida sobre el problema, las ideas que pueden no ser totalmente familiar para todos.
Utilizando el Teorema de Compacidad: Vamos a $\mathbb{L}$ ser el primer fin de lenguaje que tiene dos binarios de la función de los símbolos $+$$\times$, y la constante de símbolos $0$, $1$, y $a$. El primero de los cuatro símbolos son los de siempre cuando uno se formaliza la teoría de anillos con unidad, y el último símbolo $a$ es para el entorno de seguridad de la compacidad argumento.
Ahora describir un conjunto $\mathbb{A}$ de los axiomas. El conjunto $\mathbb{A}$ contiene el habitual axiomas para la integral de dominio. Tenga en cuenta que no hay una fórmula $\text{NU}(x)$ en nuestro idioma, que dice que $x$ no es una unidad.
Además de los axiomas para la integral de dominio, $\mathbb{A}$ contiene los siguientes axiomas.
Primero viene un axioma que dice que el $a$ no es igual a $0$, y no es una unidad.
Agregar también el axioma $$\exists x_1\exists x_2(\text{NU}(x_1) \land \text{NU}(x_2) \land a=x_1 \times x_2)$$ Agregar también el axioma $$\exists x_1\exists x_2\exists x_3(\text{NU}(x_1) \land \text{NU}(x_2) \land \text{NU}(x_3)\land a=x_1 \times x_2 \times x_3)$$ y continuar añadiendo los axiomas de esta manera para siempre. Tenga en cuenta que es muy común que las teorías que tienen un número infinito de axiomas: la Aritmética de Peano y de ZFC son estándar ejemplos.
Observar que cualquier finito subconjunto $F$ $\mathbb{A}$ tiene un modelo. De hecho, ese modelo puede ser elegido para ser los números enteros, con la constante símbolo $a$ interpretarse adecuadamente. Específicamente, si el "más grande" de la especial axiomas en $F$ llamadas para $a$ al ser un producto de (al menos) $k$ sin unidades, se puede interpretar $a$$2^k$, o como el producto de la primera $k$ números primos.
Ya que cada subconjunto finito de $\mathbb{A}$ tiene un modelo, entonces por el Teorema de Compacidad del conjunto total $\mathbb{A}$ tiene un modelo de $\mathcal{M}$. Este modelo es una parte integral de dominio. La interpretación de la constante símbolo $a$ $\mathcal{M}$ a continuación, responde a todos los de nuestro especial de axiomas, por lo que hemos encontrado nuestra deseada ejemplo.
Para quienes no están familiarizados con el Modelo básico de la Teoría, debo señalar que el argumento anterior es esencialmente automático. No es exagerado afirmar que podría ser reemplazado en su totalidad por "El resultado es evidente por la compacidad."
El uso de Ultrapowers: damos sólo un breve esbozo. Para más detalles mirar primero http://en.wikipedia.org/wiki/Ultraproduct. Deje $\mathbb{Z}$ ser los números enteros, en virtud de la costumbre, la adición y la multiplicación. Deje $I$ ser un countably infinito conjunto de índices, como el de los números naturales, y deje $U$ ser un no-director de ultrafilter en $I$. Mira la ultrapower $\mathbb{Z}^I/U$. Los elementos de la ultrapower son clases de equivalencia $f/U$ de las funciones de $I$ $\mathbb{Z}$(es decir, de clases de equivalencia de las secuencias). Dos secuencias de $f$ $g$ $U$- equivalente, si el conjunto de $i$ tal que $f(i)=g(i)$ pertenece a $U$. Definir la suma y la multiplicación en $\mathbb{Z}^I/U$ pointwise modulo $U$.
Resulta que $\mathbb{Z}^I/U$ es un no-modelo estándar de la "teoría elemental de los números enteros." Y si nos vamos, por ejemplo, $f(i)=2^i$, $f/U$ se puede expresar como un producto de $n$ sin unidades para cualquier entero positivo $n$.
De manera más general, la ultraproduct puede ser utilizado para producir algebraica de objetos con propiedades interesantes.
Los dos métodos son en un sentido bastante similar, con la ultrapower proporcionando una especie de explícito (si uno puede aceptar un no-director de ultrafilter como explícito!) camino de la construcción de un modelo del tipo garantiza que existe por el Teorema de Compacidad. (Por cierto, el Teorema de Compacidad resulta ser equivalente a la afirmación de que una cierta topológica del espacio es compacto, aunque creo que el nombre de "Teorema de Compacidad" fue utilizado bien antes de que este se dio cuenta. El ultraproduct puede ser viewd como un modo de producción determinado límite de objetos).
Dicho elemento puede ser factorizado, cada factor puede ser factorizada, cada factor puede ser factorizada, etc.
Cambiar el problema en un aditivo uno, usted quiere encontrar un elemento que puede ser escrita como una suma de dos estrictamente números más pequeños, cada uno de los cuales puede ser escrita como una suma de dos estrictamente números más pequeños, cada uno de los cuales, etc...
Tal vez pensando que a lo largo de las líneas de: $$1 = \frac{1}{2}+\frac{1}{2} = \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) = \cdots = \left(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^n}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^n}\right) = \cdots$$
Hmmm... ¿hay alguna manera de que podamos convertir eso en algún tipo de multiplicativa, en lugar de aditivo, conjunto de igualdades?
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