Un mapa de cobertura $\mathbb{R}P^2\longrightarrow X$ es un Homeomorfismo

Question

Me encontré con el siguiente problema: Ninguna cubierta mapa de $\mathbb{R}P^2\longrightarrow X$ es un homeomorphism. Para solucionar el problema se puede ver en la composición de cobertura de los mapas $$ S^2\longrightarrow \mathbb{R}P^2\longrightarrow X $$ y examinar la cubierta de transformaciones para mostrar que la cubre $S^2\longrightarrow X$ sólo tiene la identidad y antipodal mapas de la cubierta de transformaciones.

He visto a estos tipos de problemas resueltos por mostrar que la cubierta de un toldo. Existe una solución para el problema a lo largo de esas líneas?

EDIT: Incluso si no hay una manera de hacerlo, mostrando que es una sábana, hay otras maneras?

Answer 1

¿Qué acerca de cómo utilizar la característica de Euler? Característica de Euler es multiplicativa para ver un mapa de cobertura: si $E\to B$ es un $n$-escota cubriendo espacio y $E$ es compacto, entonces $\chi(E)=n\chi(B)$. Desde $\chi(\mathbb RP^2)=1$, hemos terminado.

Answer 2

1-probar que $X$ tiene que ser una superficie topológica compactada;

2-demostrar que dicha cubierta tiene que ser finito-escota;

3-deducir de 2 y de $\pi_1(\mathbb{R}P^2)$de % que $\pi_1(X)$ es finito;

4 - desde el mapa inducido por la proyección de la cubierta en $\pi_1$ es inyectivo tiene $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}< \pi_1(X)$;

5-conclusión utilizando la clasificación de las superficies topológicas compactas.