Estaba en Wolfram Alpha mirando los factores de un número, y vi la sección titulada "Residuos módulo de enteros pequeños". Eso me hizo preguntarme si los residuos de $2, \ldots, 9$ determinaría de forma única un número, o posiblemente proporcionaría una clase de equivalencia. Si no es así, ¿cuántos residuos se necesitarían? (¿Y tendrían que ser números primos?)
Si $n$ respectivamente tiene residuos $r_2, \ldots, r_m$ modulo $2, \ldots, m$ entonces también lo hace $$n + k \cdot m!$$ para todos los enteros $n$ , como $m!$ tiene un residuo $0$ modulo cada uno de $2, \ldots, m$ . En particular, una colección finita de residuos puede determinar, en el mejor de los casos, un conjunto infinito de números, y no un número único.
Podemos utilizar la misma línea de razonamiento para demostrar que podemos sustituir $m!$ con el (generalmente mucho menor número) $$q_m := \operatorname{lcm}(2, \ldots, m) ,$$ y que éste es el número más pequeño con esta propiedad. (Para $m = 9$ como en la pregunta, tenemos $q_9 = 2520$ .) En otras palabras, podemos dividir $\Bbb Z$ en un conjunto $R_n$ de clases de equivalencia con la propiedad deseada declarando $n \sim n'$ si $n \equiv n' \bmod j$ para todos $j \in \{2, \ldots, m\}$ . Podemos identificar este anillo con $\Bbb Z / q_m \Bbb Z$ que determina, también, una estructura de anillo natural en $R_m$ .
Tenga en cuenta que esto es, al menos para $m > 3$ , no el anillo $\Bbb Z_2 \times \cdots \times \Bbb Z_m$ . En el lenguaje de las clases de equivalencia, no podemos prescribir libremente los residuos modulo $2, \ldots, m$ , como el residuo módulo $s$ de un número entero determina sus residuos módulo $t$ para todos $t \mid s$ .
No hay mucho de especial aquí, por cierto, sobre la consideración de los residuos modulo consecutivos enteros: Podemos sustituir $2, \ldots, m$ con cualquier secuencia finita $u_1, \ldots, u_m$ de enteros no nulos y las mismas afirmaciones se aplican más o menos mutatis mutandis.
Los sistemas de congruencias lineales son objeto de varias formas de la teorema del resto chino . En su forma original, se trata de los restos coprimeros por pares.
Aquí tenemos $$ x \equiv r_k \pmod k \quad (k \in \{2,\dots,9\}) $$
Si una solución $x$ existe, entonces todas las soluciones son $$ \{ x + k M \mid k \in \mathbb{Z} \}, \quad M := \mbox{lcm}(r_k) $$ Por lo tanto, no hay unicidad. Una alternativa sería pedir la solución entera positiva más pequeña.
Un criterio para la existencia de una solución es $$ r_i \equiv r_j \pmod{ \gcd(i,j)} $$ Véase el teorema 2 del enlace anterior.
No, por muchos residuos que tengas no puedes determinar un número de forma única.
Digamos que tenemos un número $n$ y sus residuos, como se indica a continuación:
\begin{align} n&\equiv r_1\pmod{m_1}\\ n&\equiv r_2\pmod{m_2}\\ &\;\;\vdots\\ n&\equiv r_n\pmod{m_n}\\ \end{align}
Ahora dejemos que $p=m_1\cdot m_2\cdots m_n$
Ya que para cualquier $i$ , $p$ es un múltiplo de $m_i$ y por lo tanto $p\equiv0\pmod{m_i}$ nos encontramos con que:
\begin{align} n+p&\equiv r_1\pmod{m_1}\\ n+p&\equiv r_2\pmod{m_2}\\ &\;\;\vdots\\ n+p&\equiv r_n\pmod{m_n}\\ \end{align}
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No estoy seguro de entender la parte de la clase de equivalencia de su pregunta. Como se pregunta, los residuos obviamente forman una clase de equivalencia con la relación "todos los números que tienen el mismo conjunto de residuos que $a$ en el conjunto de módulos $\{m_N\}$ ." ¿O te estoy interpretando mal? ¿Estás preguntando por construyendo el conjunto de todos los $x : x R a$ ?
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Lo que preguntaba era en qué circunstancias el conjunto de clases de equivalencia abarcaría el conjunto de enteros positivos, perdón por la confusión.