Algunas aproximaciones para $\arccos(1/(1+x))$

Question

Yo estaba tratando de calcular la máxima distancia de la tierra se puede ver en las montañas, con su elvation dado.

Después de algunos geometría simple, yo era capaz de llegar con la siguiente fórmula:

Deje $h$ ser su elevación, $d(h)$ ser la máxima distancia que puede ver, entonces

$$d(h)=2\pi R\arccos\frac{R}{R+h}$$

donde R es el radio de la tierra. Tomamos $R=6378100m$ como su valor.

Pero cuando me parcela en excel, aquí está lo que hice: La unidad para el eje vertical es km, mientras que la unidad para el eje horizontal es m.

Sorprendentemente, para $d\in(0,20000m)$ (básicamente, la máxima altura que puede alcanzar sin el pago de millones de personas a bordo de una nave espacial) , $d(h)$ se puede aproximar por

$$d(h)\approx22345\sqrt{h}$$

aquí

con un $r^{2}$ valor de 1!.

Sólo al $h>5\cdot10^{5}m$ la dosis de la aproximación comienzan a desviarse significativamente.

No cualquiera tiene una explicación, desde un numérica prespectiva?

Answer 1

La serie de Taylor para el coseno es $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dotsb.$$

Truncar esta serie después de la $x^2$ plazo da a la vez una buena aproximación $$\cos x \approx 1 - \frac12 x^2,$$ from which, by substituting $\sqrt{2y}$ for $x$, we get $$\cos \sqrt{2y} \approx 1 - y$$ and thus $$\arccos (1-y) \approx \sqrt{2y}.$$

Ya que, para valores pequeños de $y$, $$\dfrac{1}{1+y} = 1 - \dfrac{y}{1+y} \approx 1 - y,$$ it follows that $\sqrt{2y}$ is also a good approximation for $\arccos \dfrac{1}{1+y}$ when $$ y es pequeño.

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Para verificar esta aproximación, considere la ecuación original $$\begin{aligned} d(h) =& 2\pi R\arccos\frac{R}{R+h} \\ =& 2\pi R\arccos\frac{1}{1+\frac{h}{R}}. \end{aligned}$$

Desde $h/R$ es pequeña en este caso, $$\begin{aligned} d(h) \approx& 2\pi R\sqrt{2h/R} \\ =& \left(\pi\sqrt{8R}\right)\sqrt{h} \\ =& 22441\sqrt{h}, \end{aligned}$$ que sólo difiere de Excel el cálculo del coeficiente por $0.42\%$.