Segunda derivada de $\int_\mathbb{R}\cos(tx)dp(x)$

Question

Dejemos que $p$ sea una probabilidad sobre $\mathbb{R}$ y $$f(t):=\int_\mathbb{R}\cos(tx)dp(x).$$ Quiero demostrar que si $f''(0)$ existe entonces $$f''(0)=\lim_{t\to 0}2\frac{f(t)-1}{t^2} \: \:(\star).$$

Por diferenciación bajo el signo integral, obtengo $$f''(t)=\int_\mathbb{R}-x^2\cos(tx)dp(x).$$ Ahora, parece que necesito una especie de "integración por partes para las probabilidades", pero no sé si existe algo similar.

Entonces, ¿cuál es la forma más rápida de deducir $(\star)$ ?

Answer 1

Observe que $f(0)=1$ y $f'(0)=0$ . Utilizando a Taylor en $0$ tenemos $$f(t)=f(0)+f'(0)t+\frac{f''(0)}{2}t^2+o(t^2).$$ Por lo tanto, $$f''(0)=2\frac{f(t)-f(0)-f'(0)t}{t^2}+o(1)=2\frac{f(t)-1}{t^2}+o(1).$$

Answer 2

1) Utilizando el teorema de convergencia dominada de Lebesgue (LDCT), puede conmutar $\lim \limits _{t \to 0}$ y $\int \limits _{\Bbb R}$ para que

$$\lim \limits _{t \to 0} \big( f(t) - 1 \big) = \lim \limits _{t \to 0} f(t) - 1 = \lim \limits _{t \to 0} \int \limits _{\Bbb R} \cos (tx) \Bbb d p - 1 = \int \limits _{\Bbb R} \lim \limits _{t \to 0} \cos (tx) \Bbb d p - 1 = \int \limits _{\Bbb R} 1 \Bbb d p - 1 = 0 ,$$

por lo que se puede aplicar el teorema de L'Hospital para obtener $\lim \limits _{t \to 0} 2 \dfrac {f(t) - 1} {t^2} = \lim \limits _{t \to 0} \dfrac {f'(t)} t$ .

2) Ahora debemos suponer que la función de identidad $x : \Bbb R \to \Bbb R$ es Lebesgue-integrable, sino sospecho que tu afirmación es falsa.

Utilizando la LDCT por segunda vez, se puede demostrar que la derivada conmuta con la integral, es decir $f'(t) = \dfrac {\Bbb d} {\Bbb d t} \int \limits _{\Bbb R} \cos (tx) \Bbb d p = \int \limits _{\Bbb R} \dfrac {\Bbb d} {\Bbb d t} \cos (tx) \Bbb d p = \int \limits _{\Bbb R} -x \sin (tx) \Bbb d p$ , esencialmente porque $| \int \limits _{\Bbb R} -x \sin (tx) \Bbb d p | \le \int \limits _{\Bbb R} |-x \sin (tx)| \Bbb d p \le \int \limits _{\Bbb R} |x|\Bbb d p < \infty$ por la mencionada suposición.

3) Utilizando la LDCT por tercera vez como en el paso 1), es fácil demostrar que $\lim \limits _{t \to t_0} f'(t) = f'(t_0) \ \forall t_0 \in \Bbb R$ (es decir, que $f'$ es continua). En particular, $\lim \limits _{t \to 0} f'(t) = f'(0) = 0$ . Por lo tanto, se puede aplicar el teorema de L'Hospital por segunda vez para obtener $\lim \limits _{t \to 0} \dfrac {f'(t)} t = \lim \limits _{t \to 0} \dfrac {f''(t)} 1 = f''(0)$ .

Hemos obtenido que $f''(0)$ existe y es igual a $\lim \limits _{t \to 0} 2 \dfrac {f(t) - 1} {t^2}$ .