Por que $n = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k\;e^{k-2}} \implies n = \frac{2\;e^3}{2\;e-1}$?

Question

Considerar $$n = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k\;e^{k-2}}$ $

Por qué hace

$$n = \frac{2\;e^3}{2\;e-1}\;\;?$$

Answer 1

SUGERENCIA: $$n = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k\;e^{k-2}}=e^2\sum_{k=0}^\infty\frac1{(2e)^k}$ $

Observe que $\sum_{k=0}^\infty\frac1{(2e)^k}$ es una serie geométrica infinita con el primer término $\frac1{(2e)^0}=1$ y % de relación común $\frac1{2e}$que se encuentra $\in(0,1)$