Demostrando que $\arctan(x)+\arctan(1/x)=\pm \pi/2$, ¿podría ser correcta esta línea de razonamiento?

Question

Se que ya se han hecho dos preguntas sobre este ejercicio, pero lo que estoy preguntando aquí es si esta solución, que me parece bastante extraña, podría ser correcta. El problema es el siguiente:

Demuestra que $\,f(x)=\arctan(x)+\arctan(1/x)= \pi/2\,$ si $\,x>0\,$ y $\,-\pi/2\,$ si $\,x<0$.

Lo que hice fue lo siguiente: primero de todo notemos que, dado que $-\pi/2<\arctan y<\pi/2$ para todo $y$, $-\pi

He encontrado algunas otras soluciones a este problema, pero quería saber si esta es lógicamente aceptable.

Answer 1

Acabo de darme cuenta de que debería incluir esto.

Sea $f(x) = \arctan(x) + \arctan(1/x)$ para todo $x \in (0, \infty)$.

Entonces $f'(x) = \dfrac{1}{1+x^2} - \dfrac{\dfrac{1}{x^2}}{1 + \dfrac{1}{x^2}} = 0$.

Por lo tanto, $f(x)$ es constante en $(0, \infty)$.

Dado que $f(1) = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$, concluimos que

$f(x) = \dfrac{\pi}{2}$ para todo $x \in (0, \infty)$.

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Addendum

Si no estás listo para el cálculo, para el mismo $x \in (0, \infty)$, Considera el punto $P = (1, x)$, en el primer cuadrante, con ángulo correspondiente $0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}$.

Sea $\hat{\theta} = \dfrac{\pi}{2} - \theta$. Entonces, también, $0 \lt \hat{\theta} \lt \dfrac{\pi}{2}$ y $\tan(\hat \theta) = \tan \left( \dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \cot \theta = \dfrac 1x$

Se deduce que $\arctan x + \arctan \dfrac 1x = \theta + \hat \theta = \dfrac{\pi}{2}$

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Para todo $x \in (-\infty, 0)$, tenemos

$\arctan x + \arctan \dfrac 1x = -\left(\arctan(-x) + \arctan \left(-\dfrac 1x \right) \right) = -f(-x) = -\dfrac{\pi}{2}$.

Answer 2

Todo lo que has hecho es correcto y no hay nada mal allí. También puedes obtener lo mismo de la siguiente manera: Ten en cuenta que $\tan^{-1}x=\tan^{-1}1/x -\pi$, cuando $x\lt0$...(A) y es igual a $\tan^{-1}1/x$ cuando $x\gt0$...(B)

PRUEBA: Estoy demostrando para $x$ siendo negativo. Para $x$ positivo es bastante fácil de probar.

Supongamos, $y=-z$ ($z$ es positivo), entonces $\cot^{-1}(y)=\cot^{-1}(-z)=\pi -\cot^{-1}(z)$. Ahora quizás sepas que $\cot^{-1}(z)=\tan^{-1}(1/z)$ para $z$ positivo, por lo tanto $\cot^{-1}(-z)=\pi - \tan^{-1}(1/z)$. Ahora sustituye $z=-y$, luego usa $\tan^{-1}(-1/y)=-\tan^{-1}(1/y)$ y obtendrás el resultado.

Ahora podrías preguntar: ¿por qué $\cot^{-1}(-z)=\pi-\cot^{-1}z$?

Bueno, es porque: Sea $z=\cot\theta$, $0<\theta<\pi$ [rama principal de $\cot$]. Entonces $-z=\cot(\pi-\theta)$. Ten en cuenta que $\pi- \theta$ también está entre $0$ y $pi$. Por lo tanto puedes definir $\cot^{-1}(-z)$, que en este caso será: $\pi -\theta$. Ahora sustituye $\theta=\cot^{-1}(z)$, por lo tanto queda demostrado.

Así que llegando a: $\tan^{-1}x +\tan^{-1}1/x=I$, digamos

Entonces $I=\tan^{-1}x +\cot^{-1}x=\pi/2$, cuando $x\gt0$ [por (B)]

Y $I=\tan^{-1}x +\cot^{-1}x-\pi=\pi/2-\pi=-\pi/2$, cuando $x \lt0$ [por (A)].

Answer 3

Aquí hay una prueba en el caso en que $x>0$.

Dibuja un triángulo rectángulo con catetos $1$ y $x$, con el cateto de longitud $x$ opuesto al ángulo $A

.

Entonces $\tan(A) = x$ y $\tan(B) = 1/x$, así que $A = \arctan(x)$ y $B = \arctan(1/x).

Dado que $A+B = \pi/2$, $\arctan(x)+\arctan(1/x) = \pi/2$.

Answer 4

No se puede calcular $\tan\theta$ cuando $\theta=\pm\frac\pi2$, pero en su lugar se puede calcular $\cos\theta$. Para $a,b\in \mathbb{R}$ con $ab\ne 1$ tenemos \begin{eqnarray} \cos^2(\arctan(a)+\arctan(b))&=&\frac{1}{1+\tan^2(\arctan(a)+\arctan(b))}=\frac{1}{1+\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)^2}\\ &=&\frac{(1-ab)^2}{(1-ab)^2+(ab)^2}. \end{eqnarray} Se sigue que $$ \cos^2(f(x))=\lim_{a\to x,b\to x^{-1}}\cos^2(\arctan(a)+\arctan(b))=\lim_{a\to x,b\to x^{-1}}\frac{(1-ab)^2}{(1-ab)^2+(ab)^2}=0, $$ es decir $f(x)=\pm\frac\pi2$. Dado que $f$ es continua en $(-\infty,0)$ y en $(0,\infty)$, deducimos que $$ f(x)=f(-1)=2\arctan(-1)=-\frac\pi2 \quad \forall x<0, $$ y $$ f(x)=-f(-x)=\frac\pi2 \quad \forall x>0 $$

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Añadido La función $f: x\mapsto f(x)=\arctan(x)+\arctan(x^{-1})$ está definida y es diferenciable en $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Para todo $x\ne 0$ tenemos $$ f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{-x^{-2}}{1+x^{-2}}=\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{x^2+1}=0 $$ Por lo tanto, $f$ es constante en cada componente conexa de $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Dado que $$ f(1)=2\arctan(1)=2\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2},\quad f(-1)=-f(1)=-\dfrac{\pi}{2}, $$ se sigue que $$ \arctan(x)+\arctan\left(\dfrac{1}{x}\right)=\begin{cases}-\dfrac{\pi}{2} &\text{ si } x<0\\ \dfrac{\pi}{2} &\text{ si } x>0 \end{cases}. $$

Answer 5

La función tangente debería definirse para tomar el valor $\infty$ en $\pm\pi/2$, y este $\infty$ no es ni $+\infty$ ni $-\infty$, sino que es el $\infty$ al que se llega yendo en dirección positiva o en dirección negativa. Eso hace que la función tangente sea continua en todas partes, incluida la continuidad en $\pm\pi/2$.

Si también se identifica $+\pi/2$ con $-\pi/2$ de modo que el dominio de la función tangente es topológicamente un círculo uno de cuyos puntos es $+\pi/2=-\pi/2$, entonces la función tangente es biyectiva. Solo hay un punto en su dominio que se mapea a $\infty$, es decir $+\pi/2=-\pi/2$.

Después de eso, queda la pregunta de si la identidad estándar para la tangente de una suma se aplica cuando $\infty$ ocurre entre los valores de las funciones involucradas. Para abordar eso, también deberíamos considerar que $\infty$ (no $+\infty$ y no $-\infty$) sea el valor de una función racional donde tiene una asíntota vertical. Esto hace que las funciones racionales sean continuas en todas partes. Entonces tenemos \begin{align} \tan(\alpha+\beta) & \overset{\huge\text{?}}=\ \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} \tag 1 \\[10pt] & {} = \frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}. \tag 2 \end{align> Notice that in $(1)$, the sine and cosine cannot both be $0$, so we need not consider what happens then.

En el argumento estándar, dividimos tanto el numerador como el denominador por $\cos\alpha\cos\beta$, obteniendo esto: $$ \frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1 - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\sin\beta}{\cos\beta}} \tag 3 $$ Todo esto es válido cuando no hay $0$s en los denominadores. Necesitamos abordar los $0$s en los denominadores.

Primero consideremos el caso en el que el denominador en $(1)$ es $0$ pero $\cos\alpha\ne0\ne\cos\beta$. Entonces el denominador en el lado derecho de $(3)$ es $0$. Pero el numerador en el lado derecho no es $0, ya que el numerador en el lado izquierdo no es $0; el numerador en el lado izquierdo de $(3)$ no puede ser $0$ ya que $\sin(\alpha+\beta) \ne 0$. Por lo tanto, la identidad estándar se cumple en ese caso.

Luego consideremos el caso en el que $\cos(\alpha+\beta)=0$ y $\cos\alpha=0. Entonces

$$ \frac\pi2 = - \frac\pi2 = \alpha+\beta = \frac\pi2+\beta = -\frac\pi2 + \beta $$ y hemos terminado.