¿Una ley física no es invariante?

Question

En la Relatividad, tanto la vieja teoría de Galileo o Einstein de la Relatividad Especial, una de las cosas más importantes es la discusión de si es o no las leyes de la física son invariantes. La teoría de Einstein, a continuación, los estados que son invariantes en todos los marcos inerciales de referencia.

Los libros en general establece que invariante significa que las ecuaciones toman la misma forma. Así, por ejemplo, si en un marco de $\mathbf{F} = m\mathbf{a}$ mantiene esperar de esta misma ecuación para celebrar en otro sistema inercial.

Si uno de los primeros estudios de la relatividad y, a continuación, la geometría diferencial, no parece ser muy importante a postular que: no hay ninguna garantía de whastoever que las ecuaciones serán iguales. Yo, sin embargo, ha estudiado la geometría diferencial de primer y esto me llevó a esta duda.

En geometría diferencial todo está definido para que las cosas no dependen de las coordenadas. Así, por ejemplo: los vectores se definen como ciertos operadores diferenciales, o como clases de equivalencia de curvas. Ambas definiciones se hace un vector $V$ ser un objeto geométrico, que aunque tiene representaciones en cada sistema de coordenadas, es independiente de ellos.

Debido a que, cualquier tensor se define también sin coordenadas y así igualdades entre los vectores y tensores automáticamente son de coordenadas independientes. Por supuesto, esto es válido para el vector y el tensor de campos.

Las funciones escalares de seguir la misma lógica: una función de $f : M\to \mathbb{R}$ tiene una coordenada representación $\tilde{f} : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ que es sólo $\tilde{f} = f\circ x^{-1}$ pero aún así, $f$ es independiente de las coordenadas. Así que si $f = g$ esto no se refiere a un sistema de coordenadas, pero a las funciones propias.

Por lo tanto, parece que las matemáticas garantiza que los objetos son de coordenadas independientes por naturaleza. Así que en ese caso, ¿cuáles son los ejemplos donde una ley Física no es invariante y por qué mi razonamiento falla por esos ejemplos?

Answer 1

Un ejemplo de una ley que no es invariante: $F = -\mu mv$. Es decir, algún tipo de fricción universal disminuye los objetos en movimiento. Esto requiere un punto de referencia que están ralentizando en comparación con, por lo que no es invariante.

Cualquier derecho que puede escribirse en la forma de un tensor es invariante, pero esta ley no se puede escribir de esa forma. No a menos que tenga algún tipo de vector que especifica lo que es velocidad cero.

Answer 2

Debido a que, cualquier tensor se define también sin coordenadas y así igualdades entre los vectores y tensores automáticamente son de coordenadas independientes. Por supuesto, esto es válido para el vector y el tensor de campos.

Aunque esto es cierto, es puramente matemático declaración y no tiene implicaciones en la física. Una ley de la física como un conjunto de igualdades entre los vectores y tensores sólo es una ley de la física si en realidad se puede describir estas cantidades. Normalmente lo haría por la elección de coordenadas y describir las cantidades en términos de estas coordenadas. Entonces, usted puede postular que en cualquier coordinatization las leyes de la física puede ser expresada en términos de igualdades entre los vectores y tensores. Cuando esto se supone, la descripción de las leyes de la naturaleza sería de coordenadas independientes.

Por supuesto, tal descripción puede existir en tal generalidad, y las restricciones deben ser impuestas en el permitido coordinatizations.

Para ser explícitos, considere la posibilidad de la relatividad especial. Aquí se supone o se postula que existe una clase de coordinatizations de espacio-tiempo, llamado marcos inerciales, en el que las leyes de la física que puede ser escrito de tal manera que sean las mismas en todos estos cuadros, es decir, como la igualdad entre Lorentz tensores. En otras clases de coordinatizations el tensor de ecuaciones sería todavía se mantienen, sólo que no tienen la misma descripción en términos de las coordenadas.

Answer 3

cualquier tensor se define también sin coordenadas y así igualdades entre los vectores y tensores son automáticamente coordinar independiente ... parece que las matemáticas garantiza que los objetos son de coordenadas independientes por naturaleza. Así que en ese caso, ¿cuáles son los ejemplos donde una ley Física no es invariante y por qué mi razonamiento falla por esos ejemplos?

Lo que es obvio para nosotros hoy no fue así en el Einstein del día! Él tenía que hacer nosotros creemos que en este punto de vista, que parece tan obvio ahora desde un punto de vista de la geometría diferencial.

Todavía necesitamos para asegurarse de que no se mezclan al azar cantidades como componentes de algo que podemos definir como un "tensor". Y no podemos, por ejemplo, se limitan a afirmar que el estrés tensor de energía es igual a la anti-simétrica tensor de campo electromagnético. Tenemos que estar seguros de que esto funciona en al menos un marco de referencia. La belleza de la geometría diferencial puede extender esto a todos los cuadros.