Estoy tratando de resolver el problema de mostrar $$\lim_{x\to6}\left(\frac{x}{4}+3\right) = \frac{9}{2}$ $ utilizando la $\epsilon$$\delta$definición de un límite.
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Lorin Hochstein
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Dado un $\epsilon\gt 0$, que desea mostrar, siempre $x$ es lo suficientemente cerca para $6$, sin ser igual al $6$, entonces sea $\frac{x}{4}+3$ $\epsilon$-cerca de $\frac{9}{2}$. Bien, lo primero es entender cómo cerrar $\frac{x}{4}+3$ es $\frac{9}{2}$: $$\left|\left(\frac{x}{4}+3\right) - \frac{9}{2}\right| = \left|\frac{x}{4}+3-\frac{9}{2}\right| = \left|\frac{x + 12 - 18}{4}\right| = \frac{|x-6|}{4}.$ $ por lo tanto, ¿cómo puede usted asegurarse de que es menor que $\displaystyle \left|\left(\frac{x}{4}+3\right) - \frac{9}{2}\right|$ $\epsilon$, colocando condiciones sobre cómo cerrar $x$ $6$, es decir, sobre el valor de $|x-6|$?
Ya que usted dijo que usted todavía está perdido después de Arturo post, voy a tratar de empezar antes.
P. ¿a Qué te refieres intuitivamente por $\lim\limits_{x\rightarrow 6} \frac{x}{4} + 3$?
A. Intuitivamente, que sigue esforzándose en particular, $x$ valores muy cercanos a $6$ (pero en realidad nunca enchufar $6$ - cosas como 5.99999 y 6.0000001 - en $\frac{x}{4}+3$ y registro de las salidas. Ahora, como usted seguir usando en las cosas más y más a $6$, se espera que las salidas se concentran en un número. El límite, entonces, es que un número. Mirando el gráfico de $\frac{x}{4}+3$, que probablemente iba a adivinar que la salida es $\frac{6}{4} + 3 = \frac{9}{2}$.
Ahora, permítanme resay esta respuesta en un camino que llevará a la oficial de matemáticas de la definición de un límite.
Si me llegan y dicen que el límite es $\frac{9}{2}$, ¿cómo podría usted hacerme la prueba? Bien, usted podría pensar a ti mismo "si los valores están perfeccionando en $\frac{9}{2}$, con el tiempo que debe mantenerse dentro de$.1$$\frac{9}{2}$, y por lo que me retan por que me pide que muestran que esto es de hecho el caso.
Entonces yo podría responder diciendo, "una Vez $x$ está dentro de .01 de la 6, $\frac{x}{4} + 3$ será dentro de$.1$$\frac{9}{2}$. Por si $|x-6|<.01$,$|\frac{x}{4}+3 - \frac{9}{2}| = |\frac{x}{4} - \frac{3}{2}| = |\frac{x-6}{4}| = \frac{|x-6|}{4} < \frac{.01}{4} < .1$."
Si cada vez que usted viene para arriba con una tolerancia (como $.1$), que me puede pasar su prueba al hacer una tolerancia de mi propia ($.01$), matemáticamente nos diría que el límite es de $\frac{9}{2}$.
Ahora, el oficial de matemáticas definición es la siguiente:
$\lim\limits_{x\rightarrow 6} \frac{x}{4} + 3 = \frac{9}{2}$ significa que para todos los $\epsilon > 0$, hay un $\delta > 0$ que si $|x-6|<\delta$,$|\frac{x}{4}+3 - \frac{9}{2}|< \epsilon$.
En nuestro anterior "conversación". El $.1$ jugado el papel de $\epsilon$, mientras que el $.01$ jugado el papel de $\delta$.
Después de la lectura (y, posiblemente, la relectura, y rerereading) todos los de arriba, que me animo a releer Arturo respuesta y ver si usted puede a su vez lo dijo en un pleno derecho de respuesta.
