¿Son gráficos de derivados conectados?

Question

Uno de la base de los resultados de análisis real es el del teorema de Darboux, que dice que la derivada de una función derivable tiene el valor intermedio de la propiedad.

Siempre he sido un poco insatisfecho con este resultado, como creo que el siguiente más fuerte resultado se tiene:

Deje $f:[a,b]\to\mathbb R$ ser una función derivable, entonces la gráfica de $f'$ está conectado.

Hay una prueba de esta afirmación?

(diferenciable en a $[a,b]$ significa diferenciable en a $(a,b)$ y $f'_+(a)$, $f'_-(b)$ existen)

Answer 1

Creo que tengo algunas referencias que usted puede utilizar para improvisar una prueba.

Según la wiki, la derivada de cualquier función derivable es de Baire clase 1.

Teorema 4.1 de este documento por Bruckner, Cedro (1965) (página 99) demuestra que cada Darboux función de Baire clase 1 tiene un grafo conexo.

Como te han dicho, ya sabemos que la derivada es una función de Darboux.

Yo no estoy demasiado familliar con estos conceptos a mí mismo, así que no puedo dar fe de la validez, es decir, la wiki de la demanda, pero esto sin duda debe ser una línea de investigación que vale la pena investigar.