Probabilidad de que las preguntas estén en un examen

Question

Mi novia tiene un examen en su clase de desarrollo internacional mañana. Se le han dado $60$ términos para estudiar (cada uno lleva mucho tiempo aprenderlo a fondo). De esos $60$ términos, $10$ estarán en el examen, y ella debe discutir $3$ de ellos. Ahora, ha estado pasando mucho tiempo tratando de averiguar la probabilidad de conocer $x$ de las $3$ preguntas, tiempo que podría haber pasado estudiando.

Curiosamente, en realidad tengo un final de probabilidad y estadística para ciencias de la computación la próxima semana y no tengo idea de cómo averiguar esta probabilidad. Dado que ella estudió $n$ de $60$ términos, ¿cuál es la probabilidad de que ella conozca (a) $0$, (b) $1$, (c) $2$, (d) $3$ de los $10$ términos que aparecen en el examen?

Answer 1

Esto no es más que una generalización de la respuesta de Ross Millikan. Lo que necesita es la probabilidad hipergeométrica. Hay $n$ elementos únicos en total (preguntas en su caso), de los cuales se seleccionan $m

Claramente hay $\binom{n}{m}$ formas de seleccionar $m$ elementos de $n$. Dado que queremos $x$ elementos especiales en la malla (y el resto no importa), hay $\binom{r}{x} \binom{n-r}{m-x}$ formas de hacerlo. Por lo tanto, la probabilidad de atrapar $x$ elementos especiales es $$ P(X=x)=\frac{\binom{r}{x} \binom{n-r}{m-x}}{\binom{n}{m}} $$

Answer 2

La probabilidad de que ella no conozca ninguno de ellos es la probabilidad de que ninguno de los $10$ en el examen coincida con los que estudió. Los creadores del examen tienen que elegir $10$ veces sin acertar. Así que es $\dfrac {(60-n)(59-n)\ldots(51-n)}{60\cdot 59 \ldots 51}=\dfrac {(60-n)!50!}{60!(50-n)!}$

La probabilidad de que ella conozca los tres es eligiendo $3$ de los $n$ que estudió y $7$ de los demás, por lo que es $\dfrac {{n \choose 3}{60-n \choose 7}}{{60 \choose 10}}$ Probablemente puedes ver cómo hacer $1$ y $2$.