Puntos singulares de la curva algebraica, multiplicidad, ordinaria?

Question

Dejemos que $C \in \mathbb{P}_2$ sea la curva definida por el polinomio $$P(x, y, z) = x^2z^2 + y^2z^2 + y^4.$$ Encuentra los puntos singulares de $C$ . Para cada una, calcula la multiplicidad y di si es ordinaria o no ordinaria.

Answer 1

Calculamos $$P_x = 2xz^2,\text{ }P_y = 2yz^2 + 4y^3 =2y(z^2 + 2y^2),\text{ }P_z = 2x^2z + 2y^2z = 2z(x^2 + y^2).$$$ P_x $ vanishes if $ x = 0 $ or $ z = 0 $. If $ x = 0 $, then $ P_z $ vanishes if and only if $ z = 0 $ or $ y = 0 $. If $ x = z = 0 $, then $ P = 0 $ implies $ y = 0 $, which is impossible. Thus, if $ x = 0 $ then $ y = 0 $, and we find $ [0, 0, 1] $ is a common zero of $ P $ and its first derivatives. We have$$ P(x, y, 1) = x^2 + y^2 + y^4. $$The lowest order part is $ x^2 + y^2 = (x + iy)(x-iy) $, so $ [0, 0, 1]$ es un punto doble ordinario.

Si $z = 0$ entonces $P_y$ desaparece sólo si $y = 0$ . Encontramos que $[1, 0, 0]$ es un punto en $C$ que es un cero común de todas las primeras derivadas de $P$ , por lo que también es un punto singular. Tenemos $$P(1, y, z) = z^2 + y^2z^2 + z^4.$$ La parte de menor orden es $z^2$ que tiene un factor repetido, por lo que $[1, 0, 0]$ es un punto doble no ordinario.