$\lim_{x \to 1}{\frac{1-x^2}{\sin (\pi x)}}$

Question

Estoy tratando de resolver este límite:

$$\lim_{x \to 1}{\frac{1-x^2}{\sin (\pi x)}}$$

La respuesta debería ser $\frac{2}{\pi}$, pero que al final me con $0$:

$\lim\limits_{x \to 1}{\frac{1-x^2}{\sin (\pi x)}} = $ $\lim\limits_{y \to 0}{\frac{1-(y+1)^2}{\sin (\pi (y+1))}} = $ $\lim\limits_{y \to 0}{\frac{\pi(y+1)}{\sin (\pi (y+1))} \frac{1-(y+1)^2}{\pi(y+1)}} = $ $\lim\limits_{y \to 0}{\frac{1-(y+1)^2}{\pi(y+1)}} = 0$

Dónde y por qué está mi solución incorrecta?

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Nota: soy consciente de este post, sin embargo creo que el mío es diferente porque estoy preguntando de dónde y por qué mi solución fue mal, no se por qué mi respuesta fue incorrecta.

Answer 1

Su tercera igualdad intenta hacer uso de la regla $\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{\sin x} = 1$, pero tenga en cuenta que tuyo $y\to 0$ pero el argumento no es $y$, es $\pi(y+1)$, que hace no ir a cero. Es donde el trabajo va mal.

Answer 2

ps