Sólo una vez diferenciables

Question

¿Hay algún ejemplo de una función real que es diferenciable, que significa sólo una vez hay $f'(x)$, pero no $f''(x)$? No he podido encontrar algún ejemplo... Por supuesto sería preferido si f tenía una expresión de forma cerrada y si no fuera integral.

Respuestas sobre la propuesta como duplicado no son muy mi caso, porque en el otro post la respuesta propuesta tiene una segunda derivada, no en 0. Quisiera que el segundo derivado de existir en ningún momento.

Answer 1

Considerar la función de Weierstrass (https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function); llamar a ese $f$. Definir $$ F(x) = \int_0^x f(t) ~dt $$ A continuación, $F$ es una vez diferenciable en todas partes, pero dos veces diferenciable en ningún lugar.

Sé que esto incluye una integral, pero para ser honesto, es difícil evitar que, al menos si se quiere la derivada de una función que no sólo existen, sino que ser continua. (No tiene que ser continuo, pero la escritura de la función donde no es probable que incluso messier...y estoy ciertamente no va a intentar.)

Cualquier función que es continuamente diferenciable en todas partes se pueden expresar como una integral. Y el integrando en ese caso, para cualquier función que está en todas partes no-dos veces diferenciable, debe ser una función que es continua en todas partes, pero diferenciable de la nada ... y la función de Weierstrass es el clásico ejemplo de esta función.

De hecho, si se mira con detenimiento que la función de la construcción, usted verá por qué es tan difícil crear tal cosa, y reconocer que esto es bastante "fácil", lo creas o no.

Adición pequeña

Mirando hacia atrás en la definición de la W-función, está escrita como una serie de...que podemos integrar término a término. Así que supongo que mi respuesta es revisado esto, el uso de la función de Weierstrass con $a = 9/10$$b = 7$, y la eliminación de un factor irrelevante de $\pi$:

Vamos $$ G(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{9^n}{10^n 7^n} \sin(7^n \pi x) $$

A continuación, $G$ es continua y diferenciable en todas partes, pero en ningún lugar dos veces diferenciable.

Por supuesto, lo que demuestra que $G$ es de una vez pero no dos veces diferenciable es todavía bastante difícil ... pero al menos tienes una respuesta concreta a tu pregunta. Si usted lee Spivak del Cálculo, se puede trabajar a través de una muy buena exposición de la función de Weierstrass en uno de los capítulos posteriores, y usted será capaz de hacer con el requisito de la prueba cuando haya terminado con ese capítulo.

Final Informal Comentarios

Por qué no hay una "simple expresión" para tal función, sin integrales, o infinitas sumas? Así, un simple "expresión" (en mi mente) tiene sólo un número finito de operaciones (adición, sustracción, composición, etc.), y los bloques de construcción como la que vamos a utilizar son generalmente continua y no constante, y sobre todo (aparte de $x \mapsto |x|$) diferenciable. Así, mientras que usted puede obtener una función que no es diferenciable en una contables conjunto de puntos a través de algo como $x \mapsto |sin(x)|$, en general, "las expresiones simples" no va a ser diferenciable en un grupo pequeño. Supongo que con las herramientas adecuadas y la energía que usted podría formular algún tipo de prueba de que finito de combinaciones de un conjunto particular de "básicos" de las funciones de conducir a la no-la diferenciabilidad en un conjunto de medida cero. Por supuesto, una vez que se permite "casos" de las funciones (como la función característica de los racionales), las cosas pueden ser mucho peor...pero si usted está esperando para una "fórmula" como los de álgebra I, usted probablemente no va a encontrar una en todas partes-nondifferentiable función de entre ellos.

Answer 2

Yo no creo que hay una muy simple contraejemplo si desea que $f''$ existe en ninguna parte. El Weierstraß función es una función continua es diferenciable. Su antiderivada satisface las condiciones deseadas.

No son simples ejemplos de las funciones que son una vez diferenciable, pero no tiene una segunda derivada en un punto único. Una tal función es $f(x) = x \cdot |x|$, cuyo derivado $f'(x) = 2|x|$ no es diferenciable en a $0$.