Funciones de un paseo aleatorio y martingales

Question

Deje $\xi_1,\xi_2,\ldots$ ser una secuencia de variables aleatorias iid, de tal manera que $$\mathbb{P}(\xi_i=1)=p\ne \frac{1}{2},\,\mathbb{P}(\xi_i=-1)=q=1-p.$$ Consider the corresponding random walk $X_n=\xi_1+\xi_2+\ldots+\xi_n$. The goal is to find all functions $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$, such that $M_n=f(S_n)$ es una martingala.

Lo que sé es que $f_0(m)=\left(\frac{q}{p}\right)^m$ es una solución (se puede demostrar fácilmente). Es cierto, que $f_0$ y una constante que se extiende por el espacio de tales funciones? Voy a estar agradecido para algunos consejos.

Gracias de antemano!

Answer 1

La elaboración de @Hice el comentario, de $\mathbb E[f(\xi_1)\mid S_0=k]=f(k)$ hemos $$f(k)= f(k-1)\mathbb P(\xi_1=-1)+f(k+1)\mathbb P(\xi_1=1)=q\cdot f(k-1)+p\cdot f(k+1), $$ and hence $$f(k+1) - \frac1p f(k) +\left(\frac qp\right) f(k-1)=0.$$ This recurrence relation has characteristic polynomial $$\lambda^2-\frac1p\lambda +\frac qp, $$ with roots $\lambda=1,\frac qp$. It follows that $$f(k) = c_1\left(\frac qp\right)^k + c_2, $$ where $c_1,c_2\in\mathbb R$.