La conexión entre conservadas de la carga y el generador de una simetría

Question

Estoy tratando de comprender la conexión entre Noether cargos y la simetría de los generadores un poco mejor. En Schwartz QFT libro, capítulo 28.2, afirma que la Noether cargo $Q$ genera la simetría, es decir, es idéntico con el generador de la correspondiente grupo de simetría. Su derivación de esto va como sigue: Considerar la Noether cargo

\begin{equation} Q= \int d^3x J_0(x) = \int d^3 x \sum_m \frac{\delta L}{\delta \dot \phi_m} \frac{\delta \phi_m}{\delta \alpha} \end{equation}

que es en QFT un operador y el uso de la canónica de conmutación relación $$[ \phi_m(x) ,\pi_n(y)]=i \delta(x-y)\delta_{mn},$$ with $\pi_m=\frac{\delta L}{\delta \dot \phi_m}$ podemos derivar

\begin{equation} [Q, \phi_n(y)] = - i \frac{\delta\phi_n(y)}{\delta \alpha}. \end{equation}

A partir de esto se concluye que ahora podemos ver que "$Q$ genera la simetría de la transformación".

Alguien me puede ayudar a entender este punto, o conoce alguna otra explicación de por qué somos capaces de escribir para una simetría transformación de $e^{iQ}$, $Q$ el Noether cargo (Que por supuesto es equivalente a la afirmación de que P es el generador del grupo de simetría)?

Para ampliar un poco sobre lo que estoy tratando de comprender: Dada una simetría de la Lagrangiana, decir que la traducción de la invariancia, el cual es generado, en las infinitas dimensiones de la representación (representación en el campo) por parte de los operadores diferenciales $\partial_\mu$. El uso de Noethers teorema podemos derivar una conserva de corriente y una cantidad conservada en el tiempo, la Noether cargo. Esta cantidad está dada en términos de campos/ el campo. ¿Por qué se nos permite identitfy el generador de la simetría con este Noether cargo?

Cualquier idea será muy apreciada

Answer 1

Considerar un elemento $g$ del grupo de simetría. Decir $g$ es representado por un único operador en el Hilbertspace $$ T_g = \exp(tX) $$ with generator $X$ and some parameter $t$. It acts on an operator $\phi(y)$ por la conjugación $$ (g\cdot\phi)(y) = T_g^{-1}\phi(y) T_g = e^{-tX}\phi(y) e^{tX} = \big[ 1 + t[X,\cdot]+\mathcal{O}(t^2)\big]\phi(y)$$ Por otro lado, la variación de $\phi$ es definido como el primer fin de contribución bajo la acción del grupo, e.g $$ g\cdot\phi = \phi + \frac{\delta \phi}{\delta t}t+\mathcal{O}(t^2) $$ Ya que en la física que nos gusta a los generadores a ser hermitian, en lugar de anti-hermitian uno envía $X\mapsto iX$ y establece $$ [X,\phi] = -i\frac{\delta \phi}{\delta t} $$

Además, esta respuesta y enlaces en el mismo debe ayudar más.