Siempre es Posible establecer la conexión de Un Conjunto Compacto en $\mathbb R^2$?

Question

Inspirado por esta respuesta, me preguntaba si una impresora puede procesar todas las funciones continuas "suficientemente bien". En particular, estoy curioso acerca de la siguiente afirmación:

Deje $S$ ser un equipo compacto, conectado subconjunto de $\mathbb R^2$. Para cualquier $\varepsilon>0$ definir $$S_{\varepsilon}=\bigcup_{s\in S}B(s,\varepsilon)$$ where $B(s,\varepsilon)$ ithe ball of radius $\varepsilon$ around $s$ (under the usual metric) - that is $S_{\varepsilon}$ is $S$ "expanded" everywhere by $\varepsilon$. For all $S$ and $\varepsilon$, must there exist a curve $\gamma:\mathbb [0,1]\rightarrow\mathbb R^2$ of finite length such that $$S_{\varepsilon}=\bigcup_{x\in[0,1]}B(\gamma(x),\varepsilon)$$

O, poniéndolo de manera informal:

Dado un compacto conjunto conectado, es posible que una impresora, que siempre dibuja una franja de radio $\varepsilon$, para representar el conjunto de tan estrechamente como sea posible?

Mi pensamiento es "sí", porque, claramente podemos hacer esto si permitimos que cualquier descuido -que es, si no nos importa si el los puntos dentro de algunos $0<\varepsilon'$ del límite de $S_{\varepsilon}$ están cubiertos. Con suerte, figuras complejas en el límite será tragado hasta cuando vamos a ampliar el conjunto de $S$ -, pero soy sospechoso de alteraciones patológicas de los ejemplos y parece que no puede elaborar una prueba o contraejemplo.

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Una declaración en la que creo es equivalente a (y de la cual la equivalencia yo creo que una prueba simple es probable que exista) es la siguiente:

Definir $F_{\varepsilon}(S)$ a ser la "inflación" de $S$ $\varepsilon$ - el conjunto de puntos dentro de $\varepsilon$ algunos $s\in S$. Definir $f_{\varepsilon}(S)$ a ser la "deflación" de $S$ $\varepsilon$ - el conjunto de puntos de $s\in S$ de manera tal que la bola de radio $\varepsilon$ todo está contenido en $S$. A continuación, queremos mostrar que el límite de $f_{\varepsilon}(F_{\varepsilon}(S))$ tiene longitud finita para cualquier compacto $S$.

Answer 1

He aquí una prueba de que el límite de $f_\epsilon(F_\epsilon(S))$ tiene longitud finita para cada una de las $\epsilon > 0$. Voy a utilizar la siguiente desigualdad para cualquier compacto $S\subseteq\mathbb{R}^2$, $$\begin{align} {\rm perimeter}(F_\epsilon(S))\le \frac2\epsilon{\rm area}(F_\epsilon(S)).&&{\rm(1)} \end{align}$$ Más acerca de por qué esto es en un poco. En primer lugar, voy a usar para probar el resultado pedido. Tenga en cuenta que $f_\epsilon(S)$ es el conjunto de puntos de distancia de al menos distancia $\epsilon$ desde el complemento de $S$ y, por lo tanto, $$\partial f_\epsilon(S)=\partial F_\epsilon(\mathbb{R}^2\setminus S),$$ donde $\partial S$ indica el límite de un conjunto $S$. Así, $$\partial f_\epsilon(F_\epsilon(S))=\partial F_\epsilon(\mathbb{R}^2\setminus F_\epsilon(S)).$$ Ahora, si $S$ está contenida en la cerrada de la bola de $\bar B_R$ radio $R$ sobre el origen, a continuación, $F_\epsilon(S)$ está contenido en $\bar B_{R+\epsilon}$ dar, $$\partial F_\epsilon(\bar B_{R+\epsilon}\setminus F_\epsilon(S))=\partial\bar B_{R+2\epsilon}\cup\partial F_\epsilon(\mathbb{R}^2\setminus F_\epsilon(S))=\partial\bar B_{R+2\epsilon}\cup\partial f_\epsilon(F_\epsilon(S)).$$ Poniendo esto junto con (1), $$\begin{align} {\rm perimeter}(f_\epsilon(F_\epsilon(S)))&={\rm perimeter}(F_\epsilon(\bar B_{R+\epsilon}\setminus F_\epsilon(S)))-{\rm perimeter}(\bar B_{R+2\epsilon})\\ &\le\frac2\epsilon{\rm area}(F_\epsilon(\bar B_{R+\epsilon}))\\ &=\frac2\epsilon\pi(R+2\epsilon)^2 < \infty, \end{align}$$ lo que concluye la prueba.

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Ahora permítanme mostrar por qué (1) posea. Hay una rápida prueba para $S$ un conjunto finito, dado por el Teorema 5.3 en la tesis doctoral de Zoltán Gyenes. Por compacidad, para cualquier $\delta > 0$, existe un subconjunto finito $A$ $S$ tal que $F_{\epsilon}(A)\supset F_{\epsilon-\delta}(S)$, por lo que el límite de $F_{\epsilon}(S)$ se encuentra dentro de una distancia de $\delta$ del límite de $F_\epsilon(A)$. La fijación de $N$ puntos alrededor de la frontera de $F_\epsilon(S)$, estos puntos se encuentran dentro de $\delta$ de los puntos en el límite de $F_\epsilon(A)$, por tanto, la longitud de los tramos lineal de la curva de interpolación de estos puntos está delimitado por $$\begin{align} N(2\delta)+{\rm perimeter}F_\epsilon(A)&\le 2 N\delta+\frac2{\epsilon}{\rm area}F_\epsilon(A)\\ &\le 2 N\delta+\frac2\epsilon{\rm area}F_\epsilon(S) \end{align}$$ Dejando $N$ ir hasta el infinito da (1) para el conjunto compacto $S$.