Ciclos de fuga superiores

Question

La generalización del formalismo del ciclo de fuga en SGA 7 es aparentemente desde la década de 1970 un problema , Morava mencionado una conexión con la localización de Bousfield. Me parecen incomprensibles las observaciones de Morava, ¿alguien podría explicarlo?

Answer 1

Mis disculpas si esto es demasiado o demasiado poco; deja un comentario y puedo intentar corregirlo. Habla de un tema específico de la teoría de la homotopía que nos gustaría entender mejor.

La categoría de homotopía estable (implícitamente localizada en un primo p) tiene una estratificación en capas "cromáticas", que corresponden a una conexión con las leyes formales de grupo. Geométricamente pensamos en la categoría de homotopía estable como una especie de categoría de gavillas sobre una pila de módulos X que tiene una secuencia de subpilas abiertas X(n) - estas son las "categorías E(n)-locales", y hay funtores de localización de Bousfield que llevan un elemento general M a su localización E(n) L _E(n) M, lo que se puede considerar como una restricción a la subcaja abierta. (Una localización general de Bousfield tomará alguna noción de "equivalencia" y construirá una nueva categoría universal en la que esas equivalencias se conviertan en isomorfismos, pero de forma adecuadamente derivada).

La diferencia X(n) \ X(n-1) entre dos capas adyacentes es una subcapa cerrada de X(n), que en nuestro lenguaje es la "categoría K(n)-local". También existe un functor de localización de Bousfield que lleva un elemento M a su localización K(n) L _K(n) M. La localización de Bousfield es una maquinaria bastante general y en la situación "abierta" anterior actuaba como restricción; en esta situación "cerrada" actúa como terminación a lo largo de la subpila cerrada.

Tenemos un conocimiento general de las categorías K(n)-locales. Actúan como una especie de pila de cocientes de algún espacio de Lubin-Tate que clasifica las deformaciones de una ley de grupo formal de altura n por el esquema de grupos de los automorfismos de dicha ley de grupo formal, que es el n'º grupo estabilizador de Morava S _n . Geométricamente pensamos en él como un punto con un grupo de automorfismo bastante grande (aunque esto es, por supuesto, la manera equivocada de pensar en las cosas ). Estos son lugares donde se puede ensuciar y hacer cálculos específicos y examinar una capa cromática a la vez.

Quedan dos datos que necesitamos, pues, para entender a M a partir de sus localizaciones L _K(n) M: tenemos que entender cómo se unen en las E(n)-localizaciones, y tenemos que entender el límite de la L _E(n) M. Esto último es una cuestión de "convergencia cromática" y no es inmediatamente relevante para el punto que estamos discutiendo.

En general hay un diagrama "Parcheando", que es más o menos algo así como los datos que normalmente se asocian con un recolectivo. (Mi referencia favorita para datos en este tipo de situación es "Notes on etale cohomology of number fields" de Mazur). Tenemos un diagrama de retroceso (homotópico)

LE(n) M  ->  LE(n-1) M
     |             |
     V             V
LK(n) M  ->  LE(n-1) LK(n) M

que nos dice que un objeto general E(n)-local se reconstruye a partir de un objeto K(n)-local (algo concentrado en la pila cerrada), un objeto E(n-1)-local (concentrado en la pila abierta), y datos Parcheando (un mapa desde el objeto en la pila abierta a la restricción del objeto completo a la pila abierta). Esto se deduce a grandes rasgos porque la K(n)-localización de cualquier objeto E(n-1)-local es trivial.

El functor que toma un objeto concentrado cerca de la subpila cerrada y lo restringe (de forma derivada) a la subpila abierta es el que considera Morava. En este caso, en el lenguaje de la localización de Bousfield, se trata de la localización de E(n-1) aplicada a objetos K(n) locales. Lo que parece proponer es que esta configuración general de localización de Bousfield debería ser una forma de pensar en los funtores de ciclos de fuga (y coincido con su aversión por la terminología "de fuga") en la que podemos, de una forma totalmente derivada, ver las gavillas en una pila grande como procedentes de datos Parcheando en un par abierto-cerrado.

Para cerrar el círculo, lo que no entendemos en absoluto en esta imagen es lo que hace realmente esta "capa transcromática". Tenemos, por ejemplo, dos grupos estabilizadores conectados a leyes formales de grupo de alturas adyacentes, y no entendemos realmente qué hace el functor de especialización en este caso.

Answer 2

No llegaría a decir que lo entiendo, pero lo que saco en claro es lo siguiente:
Se puede considerar a grandes rasgos que el functor de los ciclos de fuga proviene de los datos de encolado para el recolé asociado a la fibra singular. Esta es una pieza muy general de gadgetry (como es la localización de Bousfield) y uno podría verlo como una versión general del functor de ciclos de fuga. Si, además, uno pudiera no sólo cocinar una versión del groupoide fundamental correspondiente a los funtores de fibra homológica y sus automorfismos, sino también asociar información a las piezas abiertas y a las inclusiones, uno podría esperar ver esto de una manera razonable como la monodromía alrededor de la localización de Bousfield que da lugar al functor de ciclos de fuga. Esto permitiría definir los isomorfismos de monodromía y las demás piezas que uno quisiera tener como parte del formalismo (y podría ser necesario también para dar la definición correcta del functor de ciclos de fuga).

Puede que esto esté terriblemente mal, pero si lo está espero que motive a alguien a corregirme y pueda eliminar esto.