$n$-vértice $3$-borde-de color de los gráficos con exactamente $6$ automorfismos que preservar borde de clases de color, pero permutar los colores de bordes claramente?

Question

En cada uno de estos $3$-borde-de color de los gráficos, no son exactamente $6$ automorfismos que preservar el conjunto de borde color de clases:

(Estos automorfismos no necesariamente mapa por ejemplo, bordes verdes con bordes verdes, pero si uno de los green edge se asigna, por ejemplo, un borde azul, luego cada green edge se asigna a algunos borde azul.)

Además, en cada ejemplo, cada uno de estos $6$ automorfismos permutes los colores de forma diferente.

Pregunta: Para todos los $n \geq 3$, no existe una $n$-vértice de la gráfica de tal manera que (a) tenemos exactamente $6$ automorfismos que preservar el conjunto de borde de clases de color, y (b) cada uno de estos $6$ automorfismos da lugar a una diferente permutación del color de borde?

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Estos provienen de parcial latina rectángulos con una cierta simetría. E. g. el de la derecha proviene de $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & \cdot \\ 3 & \cdot & \cdot \\ \end{bmatrix} $$ haciendo las entradas el vértice y añadir un borde verde cuando dos entradas de compartir una fila, un borde naranja a la hora de compartir una columna, y un borde azul a la hora de compartir un símbolo. Este parcial latina rectángulo tiene un trivial autotopism grupo y un automorphism grupo isomorfo a $S_3$ (lo que da lugar a la propiedad de simetría de la gráfica).

Es posible que yo podría ser capaz de invertir esta construcción, y la construcción de interesante parcial latina rectángulos de esta manera.

Answer 1

Proffering la siguiente construcción aunque se siente "demasiado simple".

Supongamos primero que $n\equiv1\pmod3$. Considere la posibilidad de una estrella en forma de gráfico con un vértice central, y tres "monocolor rayos" de $(n-1)/3$ vértices que emanan de ella. Cualquier gráfico automorphism debe asignar el vértice central a sí mismo, porque es el único vértice de grado tres. Fácilmente se deduce que un gráfico automorphism debe permutar los tres rayos. Por la construcción de todos los 6 permutaciones preservar el borde del color de clases.

La adición de un vértice aislado cubre el caso en el $n\equiv2\pmod3$.

Si $3\mid n$ reemplazar el vértice central con un ciclo de tres, de tal manera que uno de los rayos comienza a partir de cada uno de los tres vértices del ciclo. Si $P_1,P_2,P_3$ son los tres vértices de ese ciclo, conecte $P_1$ $P_2$ con una ventaja de compartir el color de los rayos a partir de $P_3$, y permutar que cíclicamente.