Límite superior para la suma de los pedidos en un grupo finito

Question

Esta es una linda pregunta que encontré en ML. Pensé un poco sobre él y no podía completar a una solución.

Deje $G$ ser un no-cíclico finito grupo de orden $n.$ Deje $S(G)=\sum_{g \in G} o(g)$ donde $o(g)$ es el orden de $g$ $G.$ Demostrar que $S(G)<S(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}).$

Mis pensamientos:

Para cualquier $d|n,$ hay un único subgrupo cíclico de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ orden $d,$ y el número de generadores de un subgrupo cíclico es $\varphi(d).$ por lo Tanto, $S(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})=\sum_{d|n} \varphi(d)d.$

Deje $s_d$ el número de elementos de a $G$ orden $d.$ $S(G)=\sum_{d|n}s_dd.$ Por el teorema de Frobenius, el número de elementos de a $g \in G$ s.t. $g^d=1$ es un múltiplo de a $d,$ $0 \leq s_d \leq dk_d$ para un entero no negativo, $k_d.$

Caso 1: Si por algún divisor $d$ tenemos $dk_d=n,$ $S(G) \leq 1+(n-1)d<1+n(n-1)/2.$

Caso 2: Si $dk_d \neq n$ para todos los divisores $d,$ $k_d \leq \frac{n}{d}-1$ $dk_d \leq n-d.$ por lo tanto, $S(G) \leq \sum_{d|n}nd-d^2.$

Ahora tenemos que demostrar que $\sum_{d|n} \varphi(d)d$ es estrictamente mayor que el máximo de los dos casos 1, 2, que no pude probar. (Traté de inducción en $n,$ pero no tuvo éxito!)

1. ¿Cómo se debe demostrar las desigualdades?

2. Hay alguna cerrado/formulario simplificado para $\sum_{d|n} \varphi(d)d?$

Curiosidad:

¿Qué es $\lim_{n \to \infty} \frac{S(G)}{S(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})}?$

Añadido: debo confesar que me vino con la última pregunta sin pensar cuando estaba escribiendo toda la cuestión, que el límite, por supuesto, es absurdo, si no se especifica un grupo!

Answer 1

Este es un problema difícil! Hay dos publicado las soluciones de las que soy consciente.

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1)

La primera es la respuesta a la AMM 6636(ii) por F. Schmidt. (El problema proponente presentó esta segunda parte sin solución!)

La cita es:

F. Schmidt, Richard Stong y John H. Lindsey. La American Mathematical Monthly , Vol. 98, Nº 10 (Dic., 1991), pp 970-972.

Paywall: http://www.jstor.org/stable/2324168

2)

El segundo está en el papel, cuya cita es:

Amiri, H., Jafarian Amiri, S. M., & Isaacs, I. M. (2009). Las sumas de los elementos pedidos en grupos finitos. Comunicaciones en Álgebra, 37(9), 2978-2980.

Paywall: http://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/00927870802502530

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FYI: me he enterado de estas soluciones tratando de averiguar este MO problema. (Como se evidencia por el comentario, me fui de allí.)

Answer 2

Las respuestas a las dos partes más fácil del problema:

$f(n) = \sum_{d\mid n} d\phi(d)$ es la suma de una función multiplicativa de todos los divisores de a $n$; esto es en sí mismo una función multiplicativa de $n$. Por lo tanto, si el primer poder de la factorización de $n$$n=p_1^{r_1}\cdots p_k^{r_k}$, sabemos que $f(n) = f(p_1^{r_1})\cdots f(p_k^{r_k})$. Por lo tanto, basta calcular $f(p^k)$ para cualquier potencia principal $p^k$, y que no es difícil: la respuesta es $f(p^k) = 1 + (p^{2k}-1)p/(p+1)$.

$\lim_{n\to\infty} S(G)/S(\mathbb Z/n\mathbb Z)$ no existe. Al $G = \mathbb Z/2\mathbb Z \times \mathbb Z/2\mathbb Z \times \mathbb Z/p\mathbb Z$ (donde $p$ siempre denota un primo), la proporción es de $7/11$, mientras que al $G = \mathbb Z/p\mathbb Z \times \mathbb Z/p\mathbb Z$, la proporción es de $(p^3-p+1)/(p^4-p^3+p^2-p+1)$, lo que tiende a $0$.