Dado $n$ hay muchas tuplas con $a + b + c = n,0 < a < b < c$ . Para grandes $n$ diferentes tuplas pueden dar los mismos productos. Ej. $2+8+9=19=3+4+12,2\times8\times9=144=3\times4\times12$ .
¿Cuál es el mayor valor de $n$ tal que no haya ninguna tupla con el mismo producto? El ordenador me dice que es $22$ . Tal vez probando directamente de $22$ es difícil. Podemos demostrar que para un $n$ siempre hay tuplas con el mismo producto.
¿Alguna idea?
Para un $n$ siempre hay tuplas únicas $a,b,c, \ 0<a<b<c$ y $a',b',c', \ 0<a'<b'<c'$ tal que $a+b+c=n=a'+b'+c'$ y $a \times b \times c = a' \times b' \times c'$ .
Prueba. Digamos que tenemos $b$ divisible por $3$ y $c$ divisible por $2$ . Esta suposición se justificará más adelante. Relacionar $a,b,c$ con $a',b',c'$ como sigue:
$$ a' = 2a \qquad b' = \frac{b}{3} \qquad c' = \frac{3c}{2} $$
Es evidente que todos estos son números enteros, y es evidente que tenemos $a' \times b' \times c' = a \times b \times c$ . En diferencia entre la nueva suma y la suma original que necesitamos $0$ es $$a-\frac{2b}{3}+\frac{c}{2} = 0$$ que tiene soluciones $0<a<b<c$ de la forma $$b = 3x, \quad c=4x-2a \quad | \quad a,x \in \mathbb{Z}^+ \text{ and } x>2a$$ lo que también justifica nuestros supuestos de divisibilidad sobre $b$ y $c$ .
Así que si podemos escribir $n=a+b+c=a + (3x) + (4x - 2a) = 7x - a$ donde $x$ es un número entero positivo mayor que $2a$ entonces seguro que podemos encontrar una solución que funcione.
Es fácil ver que cualquier $n$ puede escribirse de esta forma. Dado algún $n$ elegimos $x$ para que $7x$ es el múltiplo más pequeño de $7$ superior a $n$ y elegimos y $a=7x-n$ para corregir el error. A continuación, $a$ estará siempre entre $1$ y $7$ . Así que si $x \geq 15$ podemos garantizar que $x>2a$ retenciones.
El último paso consiste en garantizar que la desigualdad $0<a'<b'<c'$ retenciones. Tenemos $a$ por lo que ciertamente $0<2a=a'$ . Desde $x>2a$ tenemos que $a'=2a<x=\frac{3x}{3}=\frac{b}{3}=b'$ . Por fin, $b'=\frac{b}{3}<b<c<\frac{3c}{2}=c'$ .
Por lo tanto, para todas las $n$ (en concreto $n \geq 98$ ), podemos encontrar un par de soluciones $a,b,c$ y $a',b',c'$ como se ha descrito anteriormente. Q.E.D.
Resumen. Dado $n \geq 98$ calcula $x=\lceil \frac{n+1}{7} \rceil$ . Entonces lo siguiente es un par de tuplas de trabajo: $$\boxed{(a,b,c)=(7x-n, \ 3x, \ 2n-10x)} \\ \boxed {(a',b',c')=(14x-2n, \ x, \ 3n-15x)}$$ Esto se deduce de la prueba y del hecho de que $\lceil \frac{n+1}{7} \rceil$ es el $x$ tal que $7x$ es el múltiplo más pequeño de $7$ superior a $n$ . El resto es sustitución.
Nota: $n=98$ es un límite superior para el mayor valor de $n$ (ya que pediste una prueba para tamaños suficientemente grandes $n$ ). Puede comprobar $22<n<98$ exhaustivamente con el programa que escribiste si quieres bajarlo.
Sí, así que has encontrado otro par de tuplas de trabajo para $n=98$ además del generado por el método anterior. ¿Cuál es el problema?
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Estoy dándole vueltas a esto ahora, pero en aras de la precisión, es probable que desee especificar que $a,b,c$ son todos positivo ya que creo que se refiere a esto. De lo contrario, podríamos simplemente fijar $a=0$ y elija cualquier $b$ y $c$ tal que $b+c=n$ . (El camino puede ser interesante si permitimos los negativos, pero no creo que fuera tu intención y tengo la sensación de que complicaría una demostración, así que voy a centrarme en el caso positivo).