El precio de una opción Call europea es una función convexa del precio de ejercicio K

Question

Intento demostrar que el precio de una opción de compra europea (la función de pago es $(S_1-K)^+$ ) en un mercado sin arbitraje es una función decreciente y convexa de K. Que sea decreciente tiene sentido, ya que $K$ aumenta, $S_1-K$ disminuye y obtenemos menos beneficios. Pero, ¿por qué ha de ser convexo?

Answer 1

Que el precio de una opción en el strike $K$ sea dada por $V(K)$ . Decir que el precio es convexo en la huelga significa que

$$V(K-\delta) + V(K+\delta) > 2 V(K)$$

para todos $K>0$ y $\delta>0$ . Supongamos que lo contrario es cierto, es decir, que existen contratos de opciones negociables que vencen en la misma fecha, de manera que

$$V(K-\delta) + V(K+\delta) \leq 2 V(K)$$

Por lo tanto, compro un contrato en $K+\delta$ y uno en $K-\delta$ y financiar mi compra vendiendo dos de las opciones a $K$ (que puedo hacer, porque las dos opciones golpeadas en $K$ son al menos tan caras como las otras dos juntas).

Al vencimiento, el precio de la acción es $S$ y mi pago total es

$$P = (S-(K-\delta))^+ + (S-(K+\delta))^+ - 2(S-K)^+$$

Ahora hay cuatro regímenes:

• $S<K-\delta$ , lo que significa que $P=0$
• $K-\delta < S < K$ , lo que significa que $P=S-(K-\delta) > 0$
• $K < S < K+\delta$ , lo que significa que $P=S-K+\delta - 2(S-K)=K+\delta-S>0$
• $S>K+\delta$ , lo que significa que $P = S-K+\delta + S-K-\delta - 2(S-K) = 0$

Por lo tanto, tengo la posibilidad de obtener un beneficio, pero ninguna posibilidad de obtener una pérdida, lo que constituye un arbitraje. Como no existen arbitrajes, el precio de la opción debe ser convexo en el precio de ejercicio.

Answer 2

Hay una solución mucho más sencilla a la cuestión de la convexidad de la función de la opción de compra. Sea $K$ sea el precio de ejercicio y $x$ el precio de las acciones. Dado que la función de $K$ a $\max(0, x-K)$ es convexa y las expectativas condicionales son lineales, la función $K$ a la expectativa condicional de $\max(0, x-K)$ (bajo la función de densidad neutral al riesgo) también es convexa. Por lo tanto, hemos demostrado que la función de precio de la opción de compra es convexa.