Lo que me pregunto es si los matemáticos saben si (suponiendo coherencia) los números naturales son un objeto definido, sin ambigüedad. Esto parece intuitivamente obvio, pero no sé si se ha demostrado. Una pregunta formal podría ser si dos sistemas axiomáticos consistentes, cada uno incluyendo todos los axiomas de los números naturales y algunos más, no pueden contradecirse en afirmaciones sobre los números naturales en el lenguaje de los números naturales (sin referirse a objetos garantizados por los otros axiomas de los sistemas).
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sewo
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El consenso abrumador es que los verdaderos números naturales es es una cosa definida cuyas propiedades objetivas -- no porque esto pueda demostrarse a partir de algo más básico, sino porque los matemáticos creen intuitivamente que tienen algún tipo de existencia platónica objetiva.
Se sabe, sin embargo, que no todas las propiedades de los naturales platónicos pueden ser capturadas completamente por cualquier sistema axiomático razonable. Dado cualquier sistema axiomático $T$ que no prueba ninguna falsedad sobre los números enteros, el teorema de incompletitud de Gödel muestra cómo construir una sentencia aritmética $\phi$ de forma que $T\cup\{\phi\}$ y $T\cup\{\neg\phi\}$ son teorías coherentes.
JoshL
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290
Una pregunta formal podría ser si dos sistemas axiomáticos consistentes, cada uno incluyendo todos los axiomas de los números naturales y algunos más, no pueden contradecirse en afirmaciones sobre los números naturales en el lenguaje de los números naturales (sin referirse a objetos garantizados por los otros axiomas de los sistemas).
Si "todos los axiomas de los números naturales" sólo significa Aritmética de Peano, entonces es completamente posible tener dos sistemas de axiomas que son cada uno consistente, cada uno contiene toda la aritmética de Peano, y son inconsistentes entre sí.
Esto se debe a que hay muchas afirmaciones que no son demostrables ni refutables en la aritmética de Peano, aunque las afirmaciones estén en el lenguaje de la aritmética de Peano. Por lo tanto, si $A$ es tal afirmación, "aritmética de Peano más $A$ " y "aritmética de Peano más la negación de $A$ " son un ejemplo del fenómeno que acabo de mencionar.
Una de las razones por las que muchos matemáticos piensan que los números naturales están bien definidos (aunque el conjunto de potencias de los números naturales no lo esté) es que los números naturales tienen que ver con la finitud, sobre la que podemos pensar que tenemos un buen sentido. En realidad, hay tres fenómenos que están interrelacionados:
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Los números naturales
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El conjunto de todas las cadenas finitas del alfabeto $\{0,1\}$
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El conjunto de todas las demostraciones formales a partir de un conjunto efectivo de axiomas
Cualquiera de estos conceptos puede interpretarse, en cierto sentido, en cualquiera de los otros. Por ejemplo, si sabemos qué es una prueba finita, podemos interpretar un número natural como la longitud de una prueba. Si sabemos qué es un número natural, podemos definir las pruebas en términos de sus números de Goedel.
Por lo tanto, si los números naturales son de algún modo vagos, el concepto de secuencia finita y el concepto de demostración formal deben ser igualmente vagos. La mayoría de los matemáticos creen que tenemos algún tipo de percepción de estos objetos, aunque una minoría piensa que los conceptos son vagos.
Uno de los desarrollos recientes más interesantes a este respecto es el potencial en la teoría de conjuntos multiversos (como la desarrollada por Joel David Hamkins y colaboradores) hay no modelo "estándar" de los números naturales, y que todo modelo de teoría de conjuntos no está bien fundamentado en relación con otro modelo. No creo que nadie haya escrito todavía un argumento filosófico sobre las consecuencias de esto para los fundamentos de las matemáticas.
CallMeLaNN
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Wolphram jonny
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226
Esta respuesta está quizá relacionada con la de Carl Mummert. Hay un artículo informal pero muy inspirador de Joel David Hamkins, sobre sus advertencias o dudas acerca de si estamos en lo cierto al pensar que tenemos un concepto absoluto de lo finito. si Hamkins tiene dudas al respecto, estoy bastante seguro de que deben ser tomadas en serio. Todos los demás teóricos de los números que creen que el modelo estándar de la aritmética de Peano define LOS números naturales más allá de toda duda, no deberían ser tomados demasiado en serio. Puedes leer sus inspiradoras reflexiones en este enlace: http://jdh.hamkins.org/question-for-the-math-oracle/
CallMeLaNN
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En este caso hay muy poca ambigüedad, por no decir ninguna. A todos los efectos prácticos (dejando de lado a Gödel), los axiomas de Peano (2º orden) pueden utilizarse como La definición del conjunto de los números naturales:
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$0\in N$
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$S: N\to N$
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$\forall x,y\in N:[S(x)=S(y)\implies x=y]$
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$\forall x \in N: S(x)\ne 0$
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$\forall P\subset N: [0\in P \land \forall x\in P: S(x)\in P \implies \forall x\in N: x\in P] $
Puede demostrarse formalmente que si los axiomas de Peano se cumplen en el conjunto $N$ con función sucesora $S$ y primer elemento $0$ (como arriba), entonces el sistema $(N,S,0)$ es único dentro de un isomorfismo, es decir, todos los sistemas de este tipo son idénticos salvo por los nombres utilizados. Véase: http://dcproof.com/EquivalentPeanoSystemsB.htm
EDITAR: He aquí un bonito visualización basado en el paradigma de la caída del dominó del tipo de "términos basura" (por ejemplo, el bucle lateral desconectado que se muestra) que está excluido por el axioma de inducción (5).
