La prueba de que cada polígono con un círculo inscrito es convexo?

Question

En muchas escuelas primarias (y no tan elemental) geometría Euclidiana textos, un (simple) polígono se dice : si es convexa y tiene un círculo inscrito (es decir, un círculo que se cruza y es tangente a cada lado del polígono). El supuesto de convexidad que no es necesario: yo he venido para arriba con un tanto laborioso prueba de que cada polígono con un círculo inscrito es convexa. Pero me gustaría encontrar un simple elemental de la prueba o una referencia a una prueba en la literatura. (Por "elemental," me refiero a usar sólo el estándar de hechos axiomática de la geometría Euclidiana.)

¿Alguien sabe de referencia para una prueba de este hecho (primaria o no)? O puede alguien pensar que de un sencillo primaria de la prueba? Usted puede utilizar cualquier definición de "polígono convexo" que te gusta, pero es el más fácil de trabajar es que para cada borde, los vértices no en ese borde de la mentira en un lado de la línea a través de ese borde.

(Curiosamente, el correspondiente hecho para circunscrito a círculos, es decir, que cada polígono con un círculo circunscrito es convexo-es muy fácil de probar: Si P tiene un círculo circunscrito, cualquiera de los dos lados no adyacentes de P no son de intersección de los acordes del círculo; es fácil mostrar que ambos extremos de cada cuerda de la mentira en el mismo lado de la línea a través de los otros, y a partir de ahí es una cuestión fácil de probar que P es convexo.)

Answer 1

Gracias a todos los que los enfoques propuestos para este problema. Al final, ninguno de los enfoques sugeridos para encajar en el marco axiomático que yo estaba trabajando, así que tuve que escribir mi propio bastante laborioso prueba. Es un poco largo para publicar aquí, pero para cerrar esta pregunta, solo quiero el post de referencia y un resumen del enfoque.

Usted puede encontrar la evidencia completa en mi libro de texto Axiomático de la Geometría (Teorema de 14.31). La idea básica es el primero en probar el siguiente lema:

Lema. Deje $\mathscr P$ ser un polígono circunscrito alrededor de un círculo de $\mathscr C$. Supongamos $A$ es cualquier vértice de $\mathscr P$, e $E$ $F$ son los puntos de tangencia de las dos aristas que contiene $A$. Entonces no hay puntos de $\mathscr P$ en el interior de $\triangle AEF$.

Para demostrar que un tangenciales polígono $\mathscr P$ debe ser convexo, la idea básica es mostrar que si $\ell$ es cualquier borde de la línea de $\mathscr P$, entonces no puede ser de cualquiera de los vértices de $\mathscr P$ en el lado "equivocado" de $\ell$ (el lado que no contiene el círculo inscrito), porque eso sería violar el lema.

Answer 2

La definición de simple establece que el polígono sí mismo es igual a la intersección de la mitad de los aviones de la tangente a la circunferencia en los puntos donde el polígono de las caras del contacto con el círculo. Cualquier intersección no vacía de halfplanes es convexa.

Answer 3

edit 2: Supongamos que un simple polígono tiene un círculo inscrito. Sin pérdida de generalidad, escoja una "primera" de los bordes y dejar que el círculo de estar en la "derecha" de ese borde. El ángulo que está en el mismo lado del círculo, es decir, a la derecha, entre el borde primero y el segundo borde debe tener miden menos de 180°. Del mismo modo, el ángulo entre la segunda y la tercera bordes que también está en el derecho también debe tener miden menos de 180°, y así sucesivamente, de modo que todos los ángulos en el lado derecho de la poligonal del perímetro (ya sea en el interior o el exterior) debe tener miden menos de 180° y de todos los ángulos en el lado izquierdo debe tener medir más de 180°.

Ya que la suma de los ángulos interiores de un simple polígono con n lados es de 180°(n – 2), el promedio de la medida de un ángulo interior de un simple polígono con n lados es de 180° – 360°/n, que es estrictamente menor que 180°. Así, desde el ángulo en el lado izquierdo del perímetro todos tienen medida mayor que 180°, su promedio es mayor que 180°, por lo que la izquierda no puede ser el interior del polígono y de la derecha debe ser el interior, por lo que el círculo inscrito debe estar en el interior del polígono y los angulos internos tienen todos miden menos de 180°.

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respuesta original:

Suponiendo que el polígono es no-auto-intersección de dos lados consecutivos de un polígono que corresponden a dos periodos consecutivos de los puntos de tangencia en el círculo, con el ángulo formado por los dos lados subtiende el arco de menor importancia entre los puntos de tangencia. La medida de los ángulos de un polígono es la mitad de la diferencia entre la medida de los principales y secundarias de los arcos entre los puntos de tangencia. La mayor diferencia posible sería el caso de degeneración, donde el arco menor tiene una medida de 0° y el gran arco tiene una medida de 360°, dando la medida del ángulo de 180°; para no degenerada de los casos, la diferencia en el arco de las medidas debe ser menor que 360°, por lo que la medida del ángulo debe ser de menos de 180°. Esto se aplica a todos los pares de lados consecutivos, por lo que cada ángulo interior de un polígono que tiene una medida de menos de 180°, de manera que el polígono es convexo.

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edit: como alternativa, y descaradamente suponiendo que la circunferencia inscrita debe ser en el interior del polígono, supongamos que un polígono no convexo, por lo que hay un vértice en el que el ángulo interior tiene una medida mayor que 180°. Para un círculo para que sea tangente a los dos lados que se encuentran en ese vértice, el círculo debe ser exterior al polígono en ese vértice (para ser en el no-reflex lado de ese ángulo) y por lo tanto no puede ser la circunferencia inscrita.