Grupo de homología de topología algebraica

Question

¿Cómo iba uno sobre cálculo de los grupos de homología primera y segunda de un cubo inscrito en una esfera?

Answer 1

Creo que mi comentario es útil en contestar a su pregunta. Si el cubo fueron sólidos, entonces este espacio topológico sería $S^2$ con ocho puntos identificados. Este es homotópica a una cuña de $S^2$ con $7$ $S^1$'s. A partir de esto podemos ver que la deseada homología de grupos $$H_2(X_{solid})=\mathbb{Z},\;\text{and}\;H_1(X_{solid})=\bigoplus_{i=1}^7\mathbb{Z}$$

Ahora si $X$ es el hueco cubo en la esfera, entonces podemos escribir $X_{solid}=X\cup B^3$ donde hemos llenado el cubo con un $B^3$. Observe que $X\cap B^3$ es homotópica a $S^2$. Una aplicación de Mayer Vietoris producirá $$H_2(X)=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z},\;\text{and}\;H_1(X)=\bigoplus_{i=1}^7\mathbb{Z}$$

Tiene sentido que ahuecando el cubo nos dará uno de los más $2$-dimensiones del agujero, pero no podremos obtener adicional $1$-dimensiones de los agujeros debido a un bucle alrededor del cubo es contráctiles (diapositiva a una cara). Para visualizar los siete generadores de la $H_1$ grupo, fijar un vértice del cubo y considerar los bucles de principio a dicho vértice, viajando a lo largo de la esfera a cualquiera de los otros siete vértices, y, a continuación, volver a la original de vértices a lo largo de la superficie del cubo. Los generadores de la segunda homología grupo son la esfera, el cubo.

Answer 2

Este es demasiado largo para un comentario, así que voy a publicar como ananswer. El espacio de ( $X$ ) es claramente homotopy equivalente a dos concéntricos $2$-esferas y $8$ segmentos de línea recta que los une. Este espacio es homeomórficos a $2$ no de esferas concéntricas con $8$ de los segmentos de línea que los conecta, que a su vez, al desplazar los segmentos de línea para que compartan sus puntos de inicio y finalización de las dos esferas, y la contratación de uno de los segmentos de línea a un punto, es homotopy equivalente a la cuña de dos $2$-a las esferas de los siete círculos, de modo que el espacio de $\mathbf X$ es homotopy equivalente a la cuña de la suma de dos esferas y los siete círculos. La conclusión es cerca, ya que (fuera de grado $0$) $$H_{\bullet}(\bigvee X_i)\simeq\bigoplus H_{\bullet}(X_i).$$ Este recupera Jared es el resultado.