Dos superficies no son isometrías de cada uno de los otros, pero tienen la misma Curvatura de Gauss

Question

¿Cómo se puede demostrar que dos superficies no son isometrías de cada uno de los otros, pero tienen la misma Curvatura de Gauss. Por ejemplo, veo que:

el helicoidal dada por X = (ucosv, usinv, v)

y

la superficie Y = (ucosv, usinv, ln(u))

tienen la misma curvatura de Gauss. He calculado la primera y segunda formas fundamentales y se dio cuenta que

K = -1/(1+u^2)^2

por tanto la helicoidal (X) y la otra superficie (Y). Yo sé que ellos no son isometrías, pero no estoy seguro de cómo demostrar que no hay ningún local reparametrization de X que tiene la primera forma fundamental igual a Y la primera forma fundamental. Todas las sugerencias serán bienvenidos! Gracias!

Answer 1

Gran pregunta. Tenga en cuenta que el reparametrization tendría que salir de la $s$-curvas de la misma (de modo que la curvatura de las funciones de coincidir). Pero esto significa que tendríamos que tener el $E$s de coincidencia de las dos superficies, que obviamente no.