Es esta la inducción de la prueba correcta?

Question

Pregunta: Demostrar por medio del principio de inducción que para cada $n ∈ N$ el número de $n^{3} + 2n$ es divisible por $3$.

Prueba

Denotar "$n^{3} + 2n$ es divisible por 3"$P(n)$. Compruebe $P(n)$ por un arbitrario $n$, por ejemplo $n=1$. $1^{3}+2*1=3*1$ y por lo tanto divisible por tres, por lo tanto, $P(1)$ mantiene.

Inducción paso: Supongamos $P(n)$ es que es verdad, vamos a $n ∈ N$. A continuación, $(n+1)^{3}+2(n+1) =(n+1)(n^{2}+2n+1)+2(n+1)=(n+1)(n^{2}+2n+3)=n^{3}+2n^{2}+3n+n^{2}+2n+3=n^{3}+2n+3(n^{2}+n+1).$

Asumimos $P(n)$ mantiene, por lo tanto el $n^{3}+2n$ parte de la inducción tiene. Es evidente que se puede ver que $3(n^{2}+n+1)$ es divisible por 3 y que concluye la prueba.

Answer 1

Me sugieren un ligero cambio en la redacción.

Prueba

Denotar la declaración de

$n^{3} + 2n$ es divisible por 3

por $P(n)$. Comprobamos $P(n)$ por un $n=1$: $1^{3}+2*1=3*1$. Por lo tanto $P(1)$ mantiene.

Inducción paso: Supongamos $P(n)$ es que es verdad, vamos a $n ∈ N$. A continuación, $(n+1)^{3}+2(n+1) =(n+1)(n^{2}+2n+1)+2(n+1)=(n+1)(n^{2}+2n+3)=n^{3}+2n^{2}+3n+n^{2}+2n+3=n^{3}+2n+3(n^{2}+n+1).$

Asumimos $P(n)$ mantiene, por lo tanto $n^{3}+2n$ es divisible por $3$. Es evidente que se puede ver que $3(n^{2}+n+1)$ es divisible por 3 y que concluye la prueba.

Answer 2

La prueba es correcta. Bien hecho.