$\mathbb Z[i]$ y el ideal de $(5)$

Question

Considere la posibilidad de $\mathbb Z[i]$ el anillo de los enteros de Gauss y su ideal $J=(5)$. Mostrar que $\mathbb Z[i]/J \cong \mathbb Z_5 \oplus \mathbb Z_5$ como anillos.

Answer 1

Sugerencia $\ \Bbb Z[i]/5 \cong \Bbb Z[x]/(5,x^2\!+1) = \Bbb Z[x]/(5,x^2\!-4)\!\! \overset{\rm CRT}\cong\! \Bbb Z_5[x]/(x\!-\!2) \times \Bbb Z_5[x]/(x\!+\!2) \cong \Bbb Z_5\!\! \times\! \Bbb Z_5\!\!$