¿Cuál es el resto al $x^{100} -8x^{99}+12x^{98}-3x^{10}+24x^{9}-36x^{8}+3x^{2}-29x + 41$ se divide por: $x^2-8x+12$.

Question

¿Cuál es el resto cuando: $$x^{100} -8x^{99}+12x^{98}-3x^{10}+24x^{9}-36x^{8}+3x^{2}-29x + 41$$ is divided by: $$x^2-8x+12$$

$x^2-8x+12$ $\leftrightarrow (x-2)(x-6)$

Esto me da el polinomio: $(x-2)(x-6)k(x) + r(x)$ donde $r(x)$ es el resto.

La expresión me da el resto al $x=2$ o $x = 6$

Mediante la sustitución de $x$ $2$ en el polinomio que se obtiene: $$x^{100} - 4x^{100}+3x^{100}-3x^{10}+12x^{10}-9x^{10}+3x^{2}-29x + 41 = 3x^2-29x + 41$$

Conectando $2$ recibir: $12-58 + 41 = -5$.

Por lo tanto $r(x)$ debe ser: $-5$.

Al parecer, esto es la respuesta equivocada. ¿Qué hice mal?

Gracias por su ayuda!

Answer 1

Primera nota de que $r(x)=ax+b$ algunos $a,b\in\mathbb Z$
Para $x=2$ obtener $r(2)=-5$ (no $r(x)=-5$) $ \Rightarrow 2a+b=-5$. Hacer lo mismo para $x=6$ encontrar r(6).A continuación, encontrará $a,b$.

Answer 2

Sugerencia $\ $ están muy cerca de la solución. Por la división de polinomios algoritmo de

$$\begin{eqnarray} &&\rm f(x) &\: =\: &\rm a + bx + (x-2)(x-6)\, g(x)\\ \Rightarrow\ &&\rm f(2) &\:=\:&\rm a + 2b \\ \Rightarrow\ &&\rm f(6) &\:=\:&\rm a + 6b \end{eqnarray}$$

La solución de las dos ecuaciones lineales de $\rm\,a,b\,$ determina el resto. Tenga en cuenta que el sistema tiene una única solución, ya que el determinante $\ne 0,\,$ siendo la diferencia de los distintos puntos de evaluación.

Comentario $\ $ El mismo método que se extiende desde dos puntos de a $\rm\,n\,$ puntos, es decir, que únicamente pueden interpolar el grado $\rm < n\,$ restante a través de cualquier $\rm\,n\,$ distintos puntos porque un polinomio de grado $\rm < n\,$ sobre un campo se determina únicamente por la $\rm\,n\,$ valores. De hecho, el anterior sistema de ecuaciones tiene determinante de Vandermonde igual al producto de las diferencias de los puntos de evaluación, por lo que es ser distinto de cero si las raíces son distintas. Ver aquí para ver un ejemplo.

Answer 3

Vale la pena señalar que $$ \begin{multline} x^{100} -8x^{99}+12x^{98}-3x^{10}+24x^{9}-36x^{8}+3x^{2}-29x + 41\\ =x^{98}(x^2-8x+12)-3x^8(x^2-8x+12)+3(x^2-8x+12)-5x+5 \end{multline} $$ de manera que el resto es $-5x+5$.