La probabilidad de Monedas Volteretas

Question

Persona a tiene 5 monedas justas y la Persona B tiene 4 monedas justas. Persona gana sólo si él voltea a jefes más que B no. ¿Cuál es la probabilidad de que Un la ganadora?

Cuando yo pensaba inicialmente sobre el problema, yo pensaba que era como si ambos tenían 4 monedas, entonces, en promedio, se obtiene el mismo número de cabezas. Si Una Persona tenía una más de la moneda, entonces sería un 50/50 de disparo para Una Persona para tener más cada vez. Pero cuanto más pienso en esto, su menos sentido para mí como una explicación, o al menos es incompleta.

Lógicamente, como pienso que si tienes 2 personas con la misma cantidad de monedas, ambos tienen la misma oportunidad de ganar, a pesar de que el porcentaje es menor que el 50 por cada persona debido a que las posibilidades de vinculación. Cuando a una persona le das una moneda extra, que reduce la probabilidad de atar por la mitad (la mitad es empate cuando el chico voltea colas con su extra y la otra mitad es cuando el chico se voltea y se pone jefes y conseguir un punto extra). No estoy seguro de cómo justificar la idea de que el porcentaje inicial de la ganancia de + la ganancia extra de la corbata escenarios dada por la moneda extra = 50%.

Supongo que estoy buscando consejos sobre cómo pensar acerca de este problema, así que puedo entender más plenamente.

Gracias

Answer 1

Imagino que a y B cada sacudida $4$ veces. Hay una cierta probabilidad de $p$ que está por delante, y por simetría la misma probabilidad de $p$ que B está por delante. Si ya se ha adelantado, ella va a ganar, cualquiera que sea su $5$th sorteo. Si B ya se ha adelantado, ella va a ganar. Y si ellos son atados, hay probabilidad de $1/2$ que obtendrá una cabeza sobre ella $5$th sorteo y ganar. Por lo tanto, por la simetría de la probabilidad de que Una gana es $1/2$.

O de lo contrario nos puede calcular. La probabilidad de que se empató a $4$$1-2p$. Por lo tanto la probabilidad de que Una gana es $$p+\frac{1}{2}(1-2p)=\frac{1}{2}.$$

Comentario: El mismo argumento se aplica si B ha $n$ monedas y Una ha $n+1$.

Answer 2

El espacio muestral es la rejilla de puntos de $\{0,1,2,3,4,5\} \times \{0,1,2,3,4\}$, correspondiente a $(H_A, H_B)$. Los puntos de color naranja son aquellos donde la $A$ gana. Hay muchos puntos grises como los puntos de color naranja.

$H_A$ $H_B$ son independientes simétrica binomio variables aleatorias, por lo tanto $$\begin{eqnarray} \mathbb{P}(H_A = h_a, H_B = h_b) &\stackrel{\text{independent}}{=}& \mathbb{P}(H_A = h_a)\mathbb{P}( H_B = h_b) \\ &\stackrel{\text{symmetry}}{=}& \mathbb{P}(H_A = 5-h_a)\mathbb{P}( H_B =4- h_b) \\ &=& \mathbb{P}(H_A = 5-h_a, H_B = 4-h_b) \end{eqnarray}$$ Pero $(h_a, h_b) \mapsto (5-h_a, 4-h_b)$ de los intercambiadores de naranja y los puntos de color gris, por lo tanto el total de la probabilidad de $A$ ganancia (puntos anaranjados) es $\frac{1}{2}$.

Answer 3

Aquí está el perseverante del método, utilizando la definición y - como resulta-más de computación que es necesario.

Como variables aleatorias, se podría decir que el $A\sim\operatorname{Binom}\left(5,~\tfrac12\right)$ y $B\sim\operatorname{Binom}\left(4,~\tfrac12\right)$ independiente (pero no idénticamente distribuidas) binomial con $n=5,4$ respectivly y ambos con $p=\tfrac12$. Ya que son independientes, podemos calcular la probabilidad de que $A>B$ así: $$ \mathbb{P}\left(a > B\right) =\sum_{a=1}^5 {5\elegir un}\frac1{2^5} \sum_{b=0}^{- 1}{4\elegir b}\frac1{2^4} =\frac1{2^9}\sum_{a=1}^5\sum_{b=0}^{- 1}{5\elegir un}{4\elegir b} =\frac{256}{2^9}=\frac12 $$ El truco para encontrar esta suma sin cálculo es Sasha bueno diagrama, con la simetría $(a,b)\leftrightarrow(5-a,4-b)$; el uso de esta transformación, de dicha suma, tiene un complemento de cantidad, lo que es igual, y los dos de que juntos deben sumar a la unidad.

Answer 4

Suponga que a y B 4 monedas cada uno, llegar a y b de cabezas, respectivamente. Si a>b, ya ha jefes más que B, por lo tanto, Una tiene más cabezas de B una vez que el resultado de las 9 de la moneda se agrega, y el que gana. Si b>a, B, todavía tiene al menos tantas cabezas como la vez el resultado de las 9 de la moneda se agrega por lo tanto B es el que gana. Si a=b, a gana si la última moneda es la cabeza y pierde lo contrario.

Como a y b son yo.yo.d., Gana con probabilidad uno la mitad.