Límite de la secuencia $\frac{1^k+2^k+...+n^k}{n^{k+1}}$

Question

¿Cómo alguien encontraría el límite de la secuencia $a_n = \frac{1^k+2^k+...+n^k}{n^{k+1}}, k \in \mathbb{N}$ $n$ va al infinito? ¿Alguien me puede dar tal vez una pista dónde empezar?

Answer 1

Por definición de la integral de Riemann tenemos: $$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(\frac{i}{n}\right)^k=\int_0^1 x^k dx=\frac{1}{k+1}$ $

Answer 2

Vamos a probar que $\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{1}{k+1}$ por medios elementales mostrando que $$1^k + 2^k + \ldots + n^k$$

puede ser escrito como un polinomio de grado $k+1$ $n$ con líderes plazo $\frac{n^{k+1}}{k+1}$.

Definir el siguiente polinomio (de grado $k$$n$)

$$p_k(n) = {n\choose k}k! = n(n-1)(n-2)\ldots(n-k+1) = n^k + a_{k-1,n}n^{k-1} + \ldots + a_{1,n}n + a_{0,n}$$

Ahora podemos elegir $b_{i}$ s.t.

$$\sum_{i=0}^{k}b_{i}p_i(n) = n^k$$

Esto se realiza mediante la toma de $b_{k}=1$ y, a continuación, eligiendo $b_{i}$ ( $i=k-1$ $i=0$ ).t. el coeficiente de la $n^i$ plazo se desvanece.

Ahora podemos escribir

$$ 1^k + 2^k+\ldots + n^k = \sum_{m=0}^n\sum_{i=0}^kb_{i}p_i(m)$$

y mediante el uso de la identidad de $\sum_{m=0}^n{m\choose i}={n+1\choose i+1}$ por fin llegamos a

$$ 1^k + 2^k+\ldots + n^k = \sum_{i=0}^kb_{i}{n+1\choose i+1}i! = \sum_{i=0}^k\frac{b_{i}p_{i+1}(n+1)}{i+1} = \frac{n^{k+1}}{k+1} + A_kn^k + \ldots + A_1n$$

y el reclamo de la siguiente manera. Yo podría añadir que esta prueba puede con algo más de trabajo a ser hecho constructivo mediante la derivación de la forma explícita de todas las $A_{i}$ de los coeficientes y de lo que nos da una explcit fórmula para $\sum_{i=1}^n i^k$.