Supongamos que lanzamos una moneda hasta que salga dos veces cruz o hayamos lanzado seis veces. ¿Cuál es el número esperado de veces que lanzamos la moneda?

Question

Esta es la respuesta que obtuve (donde $N$ representa el número de lanzamientos de la moneda después de los cuales se puede parar) pero ¿puede alguien decirme si esto parece correcto?

$P(N=2) = P(TT) = \dfrac{1}{4} $

$P(N=3) = P(HTT , THT) = \dfrac{2}{8} $

$P(N=4) = P(HHTT;HTHT;THHT) = \dfrac{3}{16} $

$P(N=5) = \dfrac{4}{32} $

$P(N=6) = 1 - \dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{8} - \dfrac{3}{16} - \dfrac{4}{32} = \dfrac{3}{16}$

$E(N) = 2\left(\dfrac{1}{4}\right) + 3\left(\dfrac{2}{8}\right) + 4\left(\dfrac{3}{16}\right) + 5\left(\dfrac{4}{32}\right) + 6\left(\dfrac{3}{16}\right) = \dfrac{15}{4} = 3.75$

Answer 1

Lo que se está viendo es una distribución binomial negativa censurada a la derecha. Es decir, dejemos que $Y = X \wedge 6 = \min\{X, 6\}$ donde $X \sim {\rm NegBinomial}(r = 2, p = 1/2)$ donde la elección particular de la parametrización para $X$ es $$\Pr[X = k] = \binom{k-1}{k-r} (1-p)^r p^{k-r}, \quad k = r, r+1, r+2, \ldots.$$ Eso es, $X$ cuenta el número total de ensayos necesarios para observar $r = 2$ colas, donde cada ensayo es un ensayo Bernoulli independiente con probabilidad de observar colas igual a $p = 1/2$ . Entonces $Y$ es $X$ derecho censurado en $6$ . Así que podemos calcular $$\begin{align*} {\rm E}[Y] &= {\rm E}[X \wedge 6] \\ &= \sum_{k=2}^5 k \Pr[X = k] + \sum_{k=6}^\infty 6 \Pr[X = k] \\ &= 6 - \sum_{k=2}^5 (6-k)\Pr[X = k] \\ &= 6 - \frac{9}{4} = \frac{15}{4}.\end{align*}$$